Probabilità: la formula di Bayes

Ricevo da Nur la seguente domanda: Buon giorno Professore, ecco qui il quesito : Supponete di avere tre carte di cui una presenta entrambi i lati rossi, una entrambi neri e l’ultima uno rosso ed uno nero. Queste carte sono riposte in un cappello e senza guardare si estrae casualmente una carta che presenta il colore rosso da un lato. Qual è la probabilita che l’altro lato sia nero? Ho capito che dovrei usare il teorema di Bayes, ma non riesco proprio a vedere come applicarlo. La ringrazio moltissimo in anticipo! Gli rispondo così: Caro Nur, per applicare il toerema di Bayes vediamo l’evento \(E\)=”la carta estratta presenta un lato rosso” come unione \(E={{E}_{1}}\cup {{E}_{2}}\) di due eventi disgiunti, ciascuno dei quali è a sua volta l’intersezione di due eventi: \({{E}_{1}}={{A}_{1}}\cap E\), con \(A_1\)=”la carta estratta è quella con un lato rosso e uno nero”, \({{E}_{2}}={{A}_{2}}\cap E\), con \(A_2\)=”la carta estratta è quella con entrambi i lati rossi”; poiché \(E\) non è indipendente da \(A_1\) e da \(A_2\), le probabilità degli eventi \(E_1\) e \(E_2\) si ottengono moltiplicando le probabilità di \(A_1\) e \(A_2\) rispettivamente per le probabilità (condizionate) degli eventi \(\left( E|{{A}_{1}} \right)\)=”la carta estratta presenta il lato rosso, sapendo che è quella con un lato rosso e uno nero”, e \(\left( E|{{A}_{2}} \right)\)=”la carta estratta presenta il lato rosso, sapendo che è quella con entrambi i lati rossi”. Si potrebbe aggiungere all’unione anche l’evento \({{E}_{3}}={{A}_{3}}\cap E\), con \(A_3\)=”la carta estratta è quella con entrambi i lati neri”, ma poiché \(p\left( E|{{A}_{3}} \right)=0\), si ha ovviamente \(p\left( {{E}_{3}} \right)=0\). Quindi: \[p\left( E \right)=p\left( {{E}_{1}}\cup {{E}_{2}}\cup {{E}_{3}} \right)=p\left( {{A}_{1}}\cap E \right)+p\left( {{A}_{2}}\cap E \right)+p\left( {{A}_{3}}\cap E \right)\quad .\] Poiché l’estrazione di ognuna delle tre carte ha la stessa probabilità, pari a \(\frac{1}{3}\), e la probabilità che la carta presenti uno o l’altro dei suoi lati è pari a \(\frac{1}{2}\), si ha \[p\left( {{A}_{1}} \right)=p\left( {{A}_{2}} \right)=\frac{1}{3},\ p\left( E|{{A}_{1}} \right)=\frac{1}{2},\ p\left( E|{{A}_{2}} \right)=1\to p\left( {{E}_{1}} \right)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6},p\left( {{E}_{2}} \right)=\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{3}\to \] \[\to p\left( E \right)=\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}\quad .\] Ora, poiché sappiamo che \(E\) è accaduto, si tratta di vedere quale sia il “peso” dell’evento \(E_1\) rispetto all’evento \(E\), cioè otteniamo la probabilità (condizionata) dell’evento \(\left( {{A}_{1}}|E \right)\)=“la carta estratta è quella con un lato nero e uno rosso, sapendo che la carta estratta presenta un lato rosso” come rapporto tra \(p\left( {{E}_{1}} \right)\) e \(p\left( E \right)=p\left( {{E}_{1}}\cup {{E}_{2}}\cup {{E}_{3}} \right)\), che è il teorema di Bayes: \[p\left( {{A}_{1}}|E \right)=\frac{p\left( {{A}_{1}}\cap E \right)}{p\left( {{A}_{1}}\cap E \right)+p\left( {{A}_{2}}\cap E \right)+p\left( {{A}_{3}}\cap E \right)}=\] \[=\frac{p\left( {{E}_{1}} \right)}{p\left( E \right)}={\frac{1}{6}}/{\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\quad .}\;\] Massimo Bergamini

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