Discontinuità e zeri

Ricevo da Paola la seguente domanda:

 

Gent.mo Professore,

mi aiuta per favore a risolvere il seguente esercizio (pag.1566 n.24 mod.U Manuale blu 2.0 di Matematica)?

Considera la funzione \[f\left( x \right)=\frac{px-2}{3x-p}\quad \left( p\in \mathbb{R} \right):\]

a) classifica i punti di discontinuità al variare del parametro \(p\);

b) nel caso che sia \(p=5\) puoi stabilire, utilizzando il teorema degli zeri, se l’equazione \(f\left( x \right)=0\) ammette radici in ciascuno dei seguenti intervalli?\[\left[ -1;1 \right],\left[ 0;6 \right];\]

c) con \(p=3\), utilizzando la definizione, verifica il limite:           \[\underset{x\to \frac{2}{3}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0\quad .\]

Grazie.

 

Le rispondo così:

 

Cara Paola,

la funzione omografica \(f\left( x \right)\) degenera in una retta \(y=\pm \frac{\sqrt{6}}{3}\), con una discontinuità eliminabile (III specie) rispettivamente nei punti \(x=\pm \frac{\sqrt{6}}{3}\), se \(-{{p}^{2}}+6=0\), cioè per \(p=\pm \sqrt{6}\), mentre per \(p\ne \pm \sqrt{6}\) si ha una discontinuità di I specie (asintoto verticale) in \(x=\frac{p}{3}\). Per \(p=5\), la funzione \(f\left( x \right)=\frac{5x-2}{3x-5}\) soddisfa le condizioni del teorema degli zeri nell’intervallo \(\left[ -1;1 \right]\) (continuità nell’intervallo, segno opposto della funzione negli estremi), per cui si può affermare che esiste almeno un valore \(x\in \left] -1;1 \right[\) tale che \(f\left( x \right)=0\), mentre nell’intervallo \(\left[ 0;6 \right]\) le ipotesi non sono soddisfatte (la funzione è discontinua in un punto interno all’intervallo, cioè \(x=5/3\)).

Infine, posto \(p=3\), poiché \[\left| \frac{3x-2}{3x-3} \right|<\varepsilon \to \frac{x-(2-3\varepsilon )/(3-3\varepsilon )}{x-1}<0\wedge \frac{x-(2+3\varepsilon )/(3+3\varepsilon )}{x-1}>0\to \] \[\to \left] \frac{2-3\varepsilon }{3-3\varepsilon },1 \right[\cap \left( \left] -\infty ,\frac{2+3\varepsilon }{3+3\varepsilon } \right[\cup \left] 1,+\infty  \right[ \right)=\left] \frac{2-3\varepsilon }{3-3\varepsilon },\frac{2+3\varepsilon }{3+3\varepsilon } \right[\] risulta individuato l’intorno di \(x=\frac{2}{3}\) richiesto affinchè sia verificato che \(\underset{x\to \frac{2}{3}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0\).

Massimo Bergamini

Per la lezione

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