Studio di funzione con valore assoluto

Ricevo da Elisa la seguente domanda: Caro professore, potrebbe indicarmi il procedimento per lo studio completo di questa funzione: \[f\left( x \right)=\frac{\left| {{x}^{2}}-3x+2 \right|}{{{x}^{2}}+1}\quad ?\] Grazie. Le rispondo così: Cara Elisa, osserviamo innanzitutto che la funzione è definita per ogni \(x\in \mathbb{R}\), e che può essere espressa senza far ricorso al valore assoluto in questo modo: \[f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{x^2-3x+2}{x^2+1}\quad x<1\vee x>2 \\ -\frac{x^2-3x+2}{x^2+1}\quad 1\le x \le 2 \end{array} \right.\] e che inoltre la funzione è sempre positiva, ad eccezione dei valori \(x=1\) e \(x=2\) in cui vale zero. Essendo la funzione ovunque continua, gli unici limiti che interessano sono quelli a \(\pm \infty\), cioè: \[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-3x+2}{{{x}^{2}}+1}=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1-3/x+2/{{x}^{2}}}{1+1/{{x}^{2}}}=1\quad .\] Pertanto la retta \(y=1\) rappresenta un asintoto orizzontale per il grafico di \(f\left( x \right)\): tale asintoto è attraversato dal grafico nel punto \(\left( \frac{1}{3},1 \right)\), essendo \(x=\frac{1}{3}\) la sola soluzione dell’equazione \(f\left( x \right)=1\). La funzione derivata prima è la seguente:\[f’(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{3x^2-2x-3}{(x^2+1)^2}\quad x<1\vee x>2 \\ -\frac{3x^2-2x-3}{(x^2+1)^2}\quad 1<x<2 \end{array} \right.\] che risulta non definita in \(x=1\) e in \(x=2\), punti di non derivabilità del tipo punto angoloso (limiti unilaterali del rapporto incrementale diversi, in questo caso opposti tra loro). Si verifica facilmente che \(f'\left( x \right)=0\) per \({{x}_{1}}=\frac{1+\sqrt{10}}{2}\) e \({{x}_{2}}=\frac{1-\sqrt{10}}{2}\), ed analizzando il segno di \(f'\left( x \right)\) negli intorni di tali valori si conclude che in entrambi si realizza un punto di massimo relativo, con valori rispettivamente \(f\left( {{x}_{1}} \right)=\frac{3-\sqrt{10}}{2}\) e \(f\left( {{x}_{2}} \right)=\frac{3+\sqrt{10}}{2}\); quest’ultimo è anche il massimo assoluto per \(f\left( x \right)\), mentre il minimo assoluto è ovviamente \(0\). Possiamo riconoscere come punti di minimo relativo (e assoluto) i punti angolosi di ascissa \(x=1\) e \(x=2\), benché estremi relativi “non regolari”, cioè non punti a derivata nulla. La funzione derivata seconda: \[f’’(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{-2(3x^3-3x^2-9x+1)}{(x^2+1)^3}\quad x<1\vee x>2 \\ \frac{2(3x^3-3x^2-9x+1)}{(x^2+1)^3}\quad 1<x<2 \end{array} \right.\] si annulla e cambia segno in corrispondenza a tre valori di \(x\), determinabili come soluzioni irrazionali di un’equazione di \(3^\circ\) grado risolvibile con metodi numerici, cioè \({{x}_{3}}\approx -1,369\), \({{x}_{4}}\approx 0,108\), \({{x}_{5}}\approx 2,261\), corrispondenti a tre punti di flesso obliquo. In realtà, a causa del valore assoluto, la derivata seconda cambia segno, e con essa cambia verso la concavità del grafico, anche in corrispondenza dei punti angolosi di non derivabilità, ma usualmente tali punti non si considerano punti di flesso.

Massimo Bergamini

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