Studio di funzione con valore assoluto

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

 

Caro professore,

potrebbe indicarmi il procedimento per lo studio completo di questa funzione:

                                     \[f\left( x \right)=\frac{\left| {{x}^{2}}-3x+2 \right|}{{{x}^{2}}+1}\quad ?\]

Grazie.

 

Le rispondo così:

 

Cara Elisa,

osserviamo innanzitutto che la funzione è definita per ogni \(x\in \mathbb{R}\), e che può essere espressa senza far ricorso al valore assoluto in questo modo: \[f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{x^2-3x+2}{x^2+1}\quad x<1\vee x>2 \\ -\frac{x^2-3x+2}{x^2+1}\quad 1\le x \le 2 \end{array} \right.\] e che inoltre la funzione è sempre positiva, ad eccezione dei valori \(x=1\) e \(x=2\) in cui vale zero. Essendo la funzione ovunque continua, gli unici limiti che interessano sono quelli a \(\pm \infty\), cioè:

\[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-3x+2}{{{x}^{2}}+1}=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1-3/x+2/{{x}^{2}}}{1+1/{{x}^{2}}}=1\quad .\] Pertanto la retta \(y=1\) rappresenta un asintoto orizzontale per il grafico di \(f\left( x \right)\): tale asintoto è attraversato dal grafico nel punto \(\left( \frac{1}{3},1 \right)\), essendo \(x=\frac{1}{3}\) la sola soluzione dell’equazione \(f\left( x \right)=1\). La funzione derivata prima è la seguente:\[f’(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{3x^2-2x-3}{(x^2+1)^2}\quad x<1\vee x>2 \\ -\frac{3x^2-2x-3}{(x^2+1)^2}\quad 1<x<2 \end{array} \right.\] che risulta non definita in \(x=1\) e in \(x=2\), punti di non derivabilità del tipo punto angoloso (limiti unilaterali del rapporto incrementale diversi, in questo caso opposti tra loro). Si verifica facilmente che \(f’\left( x \right)=0\) per \({{x}_{1}}=\frac{1+\sqrt{10}}{2}\) e \({{x}_{2}}=\frac{1-\sqrt{10}}{2}\), ed analizzando il segno di \(f’\left( x \right)\) negli intorni di tali valori si conclude che in entrambi si realizza un punto di massimo relativo, con valori rispettivamente \(f\left( {{x}_{1}} \right)=\frac{3-\sqrt{10}}{2}\) e \(f\left( {{x}_{2}} \right)=\frac{3+\sqrt{10}}{2}\); quest’ultimo è anche il massimo assoluto per \(f\left( x \right)\), mentre il minimo assoluto è ovviamente \(0\). Possiamo riconoscere come punti di minimo relativo (e assoluto) i punti angolosi di ascissa \(x=1\) e \(x=2\), benché estremi relativi “non regolari”, cioè non punti a derivata nulla. La funzione derivata seconda: \[f’’(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{-2(3x^3-3x^2-9x+1)}{(x^2+1)^3}\quad x<1\vee x>2 \\ \frac{2(3x^3-3x^2-9x+1)}{(x^2+1)^3}\quad 1<x<2 \end{array} \right.\] si annulla e cambia segno in corrispondenza a tre valori di \(x\), determinabili come soluzioni irrazionali di un’equazione di \(3^\circ\) grado risolvibile con metodi numerici, cioè \({{x}_{3}}\approx -1,369\), \({{x}_{4}}\approx 0,108\), \({{x}_{5}}\approx 2,261\), corrispondenti a tre punti di flesso obliquo. In realtà, a causa del valore assoluto, la derivata seconda cambia segno, e con essa cambia verso la concavità del grafico, anche in corrispondenza dei punti angolosi di non derivabilità, ma usualmente tali punti non si considerano punti di flesso. figura906

Massimo Bergamini

Per la lezione

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