Ricevo da Elisa la seguente domanda:Caro professore,le propongo un problema che non ho saputo risolvere:La base di una piramide retta è un trapezio isoscele circoscritto ad una circonferenza di raggio \(9,6\;cm\); la base maggiore del trapezio misura \(25,6\;cm\). Sapendo che l’altezza della piramide è congruente alla metà della base maggiore del trapezio, calcolare:a) l’area della superficie totale della piramide ed il volume del solido; b) l’area della sezione ottenuta conducendo un piano parallelo alla base e distante dal vertice di un segmento congruente al raggio del cerchio suddetto;c) il rapporto tra l’area della superficie laterale del cono inscritto nella piramide e quella della piramide.Esiste il raggio della sfera circoscritta alla piramide?Grazie.Le rispondo così:Cara Elisa,con riferimento alle figure, consideriamo dapprima il trapezio isoscele \(ABCD\) e i punti di tangenza \(L\), \(H\), \(N\) e \(K\) della circonferenza inscritta di centro \(O_I\) e raggio \(r_I=O_IH=9,6\;cm\). Si ricava subito che, essendo \(HB=LB=12,8\;cm\), \(CH=CN\) e \(CO_IB\) rettangolo di ipotenusa \(CB\) (in quanto \(CO_I\) e \(BO_I\) sono bisettrici rispettivamente degli angoli \(N{{O}_{I}}H\) e \(H{{O}_{I}}L\)), \[CH:{{O}_{I}}H={{O}_{I}}H:HB\to CH:9,6=9,6:12,8\to\] \[\to CH=CN=7,2\ cm\] e quindi \(CB=AD=7,2+12,8=20\;cm\). Se ora consideriamo la sezione \(O_IHV\) ricaviamo con Pitagora l’apotema \(HV=\sqrt{{{9,6}^{2}}+{{12,8}^{2}}}=16\ cm\), per cui, detti \(S\) la superficie del trapezio di base, \(p\) il suo semiperimetro e \(a\) l’apotema, possiamo ricavare superficie totale \(S_T\) e volume \(V\) della piramide:\[{{S}_{T}}=S+pa=\frac{40\cdot 19,2}{2}+40\cdot 16=1024\ c{{m}^{2}}\]\[V=\frac{1}{3}S\cdot V{{O}_{I}}=1638,4\ c{{m}^{3}}\quad .\]L’area della sezione \(A’B’C’D’\) si ricava con una semplice proporzione:\[S':S={{\left( V{{O}_{I}}' \right)}^{2}}:{{\left( VO \right)}^{2}}\to\]\[\to S'=384{{\left( \frac{9,6}{12,8} \right)}^{2}}=216\ c{{m}^{2}}\quad .\]Essendo l’area \(S_C\) della superficie laterale del cono pari a \(\pi r_Ia\), si ha il rapporto richiesto al punto c):\[\frac{{{S}_{C}}}{{{S}_{L}}}=\frac{\pi r_Ia}{pa}=\frac{\pi r_I}{p}=\frac{9,6}{40}\pi =0,24\pi \quad .\]Riguardo all’esistenza della sfera circoscritta e quindi del suo raggio, questa è garantita dal fatto che esiste certamente una e una sola sfera passante per quattro punti non complanari, come ad esempio \(A\), \(B\), \(C\) e \(V\), ma poiché i punti \(A\), \(B\) e \(C\) definiscono una circonferenza appartenente a questa sfera, ogni altro punto di tale circonferenza, come ad esempio il quarto vertice \(D\) del trapezio di base, appartiene alla stessa sfera. L’effettivo calcolo di tale raggio è un po’ complesso: dobbiamo anzitutto considerare appunto la circonferenza circoscritta al trapezio \(ABCD\) e il relativo raggio \(r_C=O_CM\), che può essere dedotto dalla seguente equazione per \(x=O_IO_C\):\[{{\left( x+{{r}_{I}} \right)}^{2}}+N{{C}^{2}}={{\left( {{r}_{I}}-x \right)}^{2}}+L{{B}^{2}}\to\]\[\to 19,2x+{{7,2}^{2}}={{12,8}^{2}}-19,2x\to \]\[\to x=\frac{35}{12}\approx 2,917\ cm\to {{r}_{C}}=\]\[=\sqrt{N{{O}_{C}}^{2}+C{{O}_{C}}^{2}}=\frac{5\sqrt{1201}}{12}\approx 14,44\ cm\quad .\]Se ora consideriamo una sezione della sfera contenente il vertice \(V\) e i punti medi \(L\) ed \(N\) delle basi del trapezio \(ABCD\) (vedi figura), posto \(x=O_SQ=O_CO_I=35/12\), \(y=O_IV=12,8\), \(z=O_SO_C=QO_I\), \(r_S=O_SR\), \(r_C=O_CR\), possiamo scrivere:\[{{\left( z+y \right)}^{2}}+{{x}^{2}}={{r}_{S}}^{2}\quad \wedge \quad {{r}_{C}}^{2}+{{z}^{2}}={{r}_{S}}^{2}\to \]\[\to z=\frac{{{r}_{C}}^{2}-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}{2y}=\frac{113}{80}\to {{r}_{S}}=\sqrt{{{r}_{C}}^{2}+{{z}^{2}}}\approx 14,509\ cm\quad .\]Massimo Bergamini