Aula di Scienze

Aula di Scienze

Persone, storie e dati per capire il mondo

Speciali di Scienze
Materie
Biologia
Chimica
Fisica
Matematica
Scienze della Terra
Tecnologia
I blog
Sezioni
Come te lo spiego
Science News
Podcast
Interviste
Video
Animazioni
L'esperto di matematica
L'esperto di fisica
L'esperto di chimica
Chi siamo
Cerca
L'esperto di matematica

Una piramide

Rispondo ad Elisa in merito ad un problema di geometria solida relativo ad una piramide di base trapezoidale.
leggi
Ricevo da Elisa la seguente domanda:   Caro professore, le propongo un problema che non ho saputo risolvere: La base di una piramide retta è un trapezio isoscele circoscritto ad una circonferenza di raggio \(9,6\;cm\); la base maggiore del trapezio misura \(25,6\;cm\). Sapendo che l’altezza della piramide è congruente alla metà della base maggiore del trapezio, calcolare: a) l’area della superficie totale della piramide ed il volume del solido; b) l’area della sezione ottenuta conducendo un piano parallelo alla base e distante dal vertice di un segmento congruente al raggio del cerchio suddetto; c) il rapporto tra l’area della superficie laterale del cono inscritto nella piramide e quella della piramide. Esiste il raggio della sfera circoscritta alla piramide? Grazie.   Le rispondo così:   Cara Elisa, con riferimento alle figure, consideriamo dapprima il trapezio isoscele \(ABCD\) e i punti di tangenza \(L\), \(H\), \(N\) e \(K\) della circonferenza inscritta di centro \(O_I\) e raggio \(r_I=O_IH=9,6\;cm\). Si ricava subito che, essendo \(HB=LB=12,8\;cm\), \(CH=CN\) e \(CO_IB\) rettangolo di ipotenusa \(CB\) (in quanto \(CO_I\) e \(BO_I\) sono bisettrici rispettivamente degli angoli \(N{{O}_{I}}H\) e \(H{{O}_{I}}L\)), \[CH:{{O}_{I}}H={{O}_{I}}H:HB\to CH:9,6=9,6:12,8\to\] \[\to CH=CN=7,2\ cm\] e quindi \(CB=AD=7,2+12,8=20\;cm\). Se ora consideriamo la sezione \(O_IHV\) ricaviamo con Pitagora l’apotema \(HV=\sqrt{{{9,6}^{2}}+{{12,8}^{2}}}=16\ cm\), per cui, detti \(S\) la superficie figura913del trapezio di base, \(p\) il suo semiperimetro e \(a\) l’apotema, possiamo ricavare superficie totale \(S_T\) e volume \(V\) della piramide:\[{{S}_{T}}=S+pa=\frac{40\cdot 19,2}{2}+40\cdot 16=1024\ c{{m}^{2}}\]\[V=\frac{1}{3}S\cdot V{{O}_{I}}=1638,4\ c{{m}^{3}}\quad .\]L’area della sezione \(A’B’C’D’\) si ricava con una semplice proporzione:\[S':S={{\left( V{{O}_{I}}' \right)}^{2}}:{{\left( VO \right)}^{2}}\to\]\[\to S'=384{{\left( \frac{9,6}{12,8} \right)}^{2}}=216\ c{{m}^{2}}\quad .\]Essendo l’area \(S_C\) della superficie laterale del cono pari a \(\pi r_Ia\), si ha il rapporto richiesto al punto c):\[\frac{{{S}_{C}}}{{{S}_{L}}}=\frac{\pi r_Ia}{pa}=\frac{\pi r_I}{p}=\frac{9,6}{40}\pi =0,24\pi \quad .\] Riguardo all’esistenza della sfera circoscritta e quindi del suo raggio, questa è garantita dal fatto che esiste certamente una e una sola sfera passante per quattro punti non complanari, come ad esempio \(A\), \(B\), \(C\) e \(V\), ma poiché i punti \(A\), \(B\) e \(C\) definiscono una circonferenza appartenente a questa sfera, ogni altro punto di tale circonferenza, come ad esempio il quarto vertice \(D\) del trapezio di base, appartiene alla stessa sfera. L’effettivo calcolo di tale raggio è un po’ complesso: dobbiamo anzitutto considerare appunto la circonferenza circoscritta al trapezio \(ABCD\) e il relativo raggio \(r_C=O_CM\), che può essere dedotto dalla seguente equazione per \(x=O_IO_C\):\[{{\left( x+{{r}_{I}} \right)}^{2}}+N{{C}^{2}}={{\left( {{r}_{I}}-x \right)}^{2}}+L{{B}^{2}}\to\]\[\to 19,2x+{{7,2}^{2}}={{12,8}^{2}}-19,2x\to \]\[\to x=\frac{35}{12}\approx 2,917\ cm\to {{r}_{C}}=\]\[=\sqrt{N{{O}_{C}}^{2}+C{{O}_{C}}^{2}}=\frac{5\sqrt{1201}}{12}\approx 14,44\ cm\quad .\]Se ora consideriamo una sezione della sfera contenente il vertice \(V\) e i punti medi \(L\) ed \(N\) delle basi del trapezio \(ABCD\) (vedi figura), posto \(x=O_SQ=O_CO_I=35/12\), \(y=O_IV=12,8\), \(z=O_SO_C=QO_I\), \(r_S=O_SR\), \(r­_C=O_CR\), possiamo scrivere:\[{{\left( z+y \right)}^{2}}+{{x}^{2}}={{r}_{S}}^{2}\quad \wedge \quad {{r}_{C}}^{2}+{{z}^{2}}={{r}_{S}}^{2}\to \]\[\to z=\frac{{{r}_{C}}^{2}-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}{2y}=\frac{113}{80}\to {{r}_{S}}=\sqrt{{{r}_{C}}^{2}+{{z}^{2}}}\approx 14,509\ cm\quad .\] Massimo Bergamini
figura910
figura913
figura914

Devi completare il CAPTCHA per poter pubblicare il tuo commento