il punto \(C\), in quanto vincolato alla retta \(2x-y=0\), ha coordinate \((x,2x)\), con \(x>0\) se ci limitiamo a punti del I quadrante, come richiesto, per cui \[AC=\sqrt{17}\leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+4{{x}^{2}}=17\to \] \[\to 5{{x}^{2}}-2x-16=0\to {{x}_{1}}=2\vee {{x}_{2}}=-\frac{8}{5}\] quindi \(C(2;4)\), e l’ortocentro \(H\) di \(ABC\) si ottiene intersecando la retta \(x=2\) a cui appartiene l’altezza per \(C\) con la retta \(y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}\) a cui appartiene l’altezza per \(A\), per cui \(H\left( 2;\frac{3}{4} \right)\).
Il luogo descritto nel I quadrante dall’ortocentro è quello definito dal punto \((x,y)\) che soddisfa il seguente sistema di condizioni: \[\left\{ \begin{array}{ll} h>0 \\ x=h \\ y=\frac{\left( 5-h \right)}{2h}\left( x-1 \right) \end{array} \right.\] essendo \(y=\frac{\left( 5-h \right)}{2h}\left( x-1 \right)\) la retta a cui appartiene l’altezza per \(A\) del triangolo \(ABC\) quando sia \(C(h,2h)\); pertanto il luogo degli ortocentri ha equazione\[y=\frac{\left( 5-x \right)\left( x-1 \right)}{2x},\quad x>0\quad .\] In particolare: \[y=\frac{\left( 5-x \right)\left( x-1 \right)}{2x}=\frac{2}{3}\leftrightarrow {{x}_{1}}=3\vee {{x}_{2}}=\frac{5}{3}\]per cui si hanno due possibilità per il punto \(C\):\[{{C}_{1}}\left( 3;6 \right)\quad \quad {{C}_{2}}\left( \frac{5}{3};\frac{10}{3} \right)\quad .\]
Massimo Bergamini
