Discontinuità

Ricevo da Antonio la seguente domanda:

 

Caro Professore,

quali sono i punti di discontinuità della funzione            \[f\left( x \right)={{e}^{\frac{1}{\ln x}}}\quad ?\]

Distinti saluti.

 

Gli rispondo così:

 

Caro Antonio,

la funzione è definita nell’insieme \({{D}_{f}}=\left] 0,1 \right[\cup \left] 1,+\infty  \right[\), ed è continua in ciascuno dei punti di tale dominio, ma se vogliamo considerare i punti di accumulazione del dominio che non appartengono al dominio, cioè \(x=0\) e \(x=1\), possiamo classificare questi come punti di discontinuità del grafico di \(f\left( x \right)\), di tipo “eliminabile” il primo (la funzione si può rendere continua da destra in \(x=0\) ponendo \(f\left( 0 \right)=1\)), di tipo asintoto verticale il secondo, almeno da destra, mentre da sinistra potrebbe essere resa figura927continua anche in \(x=1\), ponendo \(f\left( 1 \right)=0\); tutto questo si giustifica alla luce dei seguenti limiti: \[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{1}{\ln x}}}\to {{e}^{\frac{1}{-\infty }}}\to {{e}^{0}}=1\] \[\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{1}{\ln x}}}\to {{e}^{\frac{1}{{{0}^{-}}}}}\to {{e}^{-\infty }}\to 0\] \[\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{1}{\ln x}}}\to {{e}^{\frac{1}{{{0}^{+}}}}}\to {{e}^{+\infty }}\to +\infty \quad .\]

Massimo Bergamini

Per la lezione

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