Ricevo da Angela la seguente domanda: Caro Professore, non riesco a risolvere i seguenti integrali: \[\int{{{e}^{2x}}\ln \left( {{e}^{2x}}-2{{e}^{x}}+2 \right)dx}\quad \quad \quad \int{\sqrt{1-x}\arcsin \sqrt{x}dx}\quad .\] Grazie. Le rispondo così: Cara Angela, nel primo caso possiamo effettuare la sostituzione\[t={{e}^{x}}\to dt={{e}^{x}}dx\]per cui, operando per parti e utilizzando la divisione di polinomi: \[\int{{{e}^{2x}}\ln \left( {{e}^{2x}}-2{{e}^{x}}+2 \right)dx}=\int{t\ln \left( {{t}^{2}}-2t+2 \right)dt=}\]\[=\frac{1}{2}{{t}^{2}}\ln \left( {{t}^{2}}-2t+2 \right)-\frac{1}{2}\int{\frac{{{t}^{2}}\left( 2t-2 \right)}{{{t}^{2}}-2t+2}dt=}\]\[=\frac{1}{2}{{t}^{2}}\ln \left( {{t}^{2}}-2t+2 \right)-\int{\left( t+1 \right)dt+2\int{\frac{1}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}+1}}dt=}\]\[=\frac{1}{2}{{t}^{2}}\ln \left( {{t}^{2}}-2t+2 \right)-\frac{1}{2}{{t}^{2}}-t+2\arctan \left( t-1 \right)+c=\]\[=\frac{1}{2}{{e}^{2x}}\left( \ln \left( {{e}^{2x}}-2{{e}^{x}}+2 \right)-1 \right)-{{e}^{x}}+2\arctan \left( {{e}^{x}}-1 \right)+c\quad .\]Nel secondo caso, utilizzando ancora l’integrazione per parti:\[\int{\sqrt{1-x}\arcsin \sqrt{x}dx}=-\frac{2}{3}{{\left( 1-x \right)}^{\frac{3}{2}}}\arcsin \sqrt{x}+\frac{1}{3}\int{\frac{{{\left( 1-x \right)}^{\frac{3}{2}}}}{\sqrt{x}}}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x}}dx=\]\[=-\frac{2}{3}{{\left( 1-x \right)}^{\frac{3}{2}}}\arcsin \sqrt{x}+\frac{1}{3}\int{\frac{\left( 1-x \right)}{\sqrt{x}}}dx=\]\[=-\frac{2}{3}{{\left( 1-x \right)}^{\frac{3}{2}}}\arcsin \sqrt{x}+\frac{1}{3}\int{\frac{1}{\sqrt{x}}}dx-\frac{1}{3}\int{\sqrt{x}}dx=\]\[=-\frac{2}{3}{{\left( 1-x \right)}^{\frac{3}{2}}}\arcsin \sqrt{x}+\frac{2}{3}\sqrt{x}-\frac{2}{9}{{x}^{\frac{3}{2}}}+c=\]\[=-\frac{2}{3}{{\left( 1-x \right)}^{\frac{3}{2}}}\arcsin \sqrt{x}-\frac{2}{9}\sqrt{x}\left( x-3 \right)+c\quad .\] Massimo Bergamini
