Ricevo da Chiara la seguente domanda:Ch.mo Prof. Bergamini, non riesco a risolvere il seguente problema (n.410, pag.1840, Matematica.blu 2.0):"Silas non fa altro che dormire, bere caffè e dimostrare teoremi, e non fa mai più di una di queste cose alla volta. Impiega \(5\) minuti per bere una tazza di caffè. Quando fa matematica, Silas dimostra \(s+\ln c\) teoremi ogni ora, dove \(c\) è il numero di tazze di caffè che beve quotidianamente e \(s\) è il numero di ore in cui dorme ogni giorno. Quante tazze di caffè deve bere Silas in un giorno per dimostrare il massimo numero di teoremi?”Grazie. Le rispondo così:Cara Chiara,effettivamente ti sei confrontata con un problema difficile (non a caso fa parte di una competizione matematica di livello avanzato), che si presterebbe, in generale, ad essere affrontato come problema di ottimizzazione di una funzione a due variabili, e quindi non ancora alla portata dell’analisi liceale; la difficoltà consiste appunto nel tentare di impostare una strategia risolutiva con i mezzi a disposizione, cioè la teoria dei massimi/minimi di una funzione ad una variabile. Posto che le ore dedicate quotidianamente da Silas alla matematica sono \(24-s-\frac{c}{12}\), si ricava che il numero \(t\) di teoremi dimostrati da Silas in un giorno è dato dalla seguente funzione: \[t=\left( s+\ln c \right)\left( 24-s-\frac{c}{12} \right)=24s-{{s}^{2}}-\frac{sc}{12}+24\ln c-s\ln c-\frac{c}{12}\ln c\] che è effettivamente funzione di due variabili, \(s\) e \(c\), ciascuna con proprie limitazioni: \(0\le c\le 288\), \(0\le s \le 24\). Tuttavia, per ogni fissato valore di \(c\), possiamo vedere \(t\) come funzione di \(s\), derivare \(t\) rispetto alla sola variabile \(s\), e verificare se la condizione \(\frac{dt}{ds}\left( s \right)=0\) definisca un valore \(s_m\) di \(s\) (che dipenderà parametricamente da \(c\)) corrispondente ad un massimo:\[\frac{dt}{ds}=24-2s-\frac{c}{12}-\ln c\to \frac{dt}{ds}=0\leftrightarrow {{s}_{m}}=12-\frac{c}{24}-\frac{1}{2}\ln c\]e poiché la derivata seconda di \(t(s)\) rispetto ad \(s\) è \(-2<0\), il valore \(s_m\) trovato è effettivamente corrispondente ad un massimo. Per trovare il valore di \(c\) che massimizza \(t\) possiamo ora introdurre l’espressione di \(s_m\) in \(t\) è derivare rispetto a \(c\):\[t\left( c \right)=\left( 12-\frac{c}{24}-\frac{1}{2}\ln c+\ln c \right)\left( 24-12+\frac{c}{24}+\frac{1}{2}\ln c-\frac{c}{12} \right)=\]\[={{\left( 12-\frac{c}{24}+\frac{1}{2}\ln c \right)}^{2}}\]per cui: \[\frac{dt}{dc}=2\left( 12-\frac{c}{24}+\frac{1}{2}\ln c \right)\left( -\frac{1}{24}+\frac{1}{2c} \right)=\frac{\left( 288-c+12\ln c \right)\left( 12-c \right)}{288c}\]Pertanto: \[\frac{dt}{dc}=0\Rightarrow 288-c+12\ln c=0\vee 12-c=0\]La prima delle due equazioni non si riesce a risolvere in modo esatto, ma si può affermare che ammette una sola soluzione \(c_1\) nell’intervallo \(0\le c\le 288\), poiché alla funzione \(288-c+12\ln c\) è applicabile il teorema di esistenza e unicità degli zeri (ha derivata seconda sempre negativa), e inoltre si può concludere che \(288-c+12\ln c<0\) per \(c<c_1\) e \(288-c+12\ln c>0\) per \(c>c_1\); risulta quindi facile dedurre, dal segno complessivo della derivata di \(t(c)\), che il massimo viene assunto per \(c_2=12\), che è la soluzione proposta.Massimo Bergamini
2 Commenti
S
Silvia Kuna Ballero
28 aprile 2023 alle 22:03
Io francamente mi domando il senso di includere un esercizio del genere in un libro di quinta dove, almeno fino a quel punto, non vengono nemmeno menzionate le funzioni in due variabili. Non è possibile escluderlo dalle future edizioni o perlomeno relegarlo in una scheda a parte specificamente per plusdotati?
Silvia Kuna Ballero
28 aprile 2023 alle 22:03
Io francamente mi domando il senso di includere un esercizio del genere in un libro di quinta dove, almeno fino a quel punto, non vengono nemmeno menzionate le funzioni in due variabili. Non è possibile escluderlo dalle future edizioni o perlomeno relegarlo in una scheda a parte specificamente per plusdotati?
Gianni Puddu
23 febbraio 2024 alle 17:50
ziopera