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Funzioni a differenza costante

Francesca chiede aiuto in merito al seguente quesito: Verifica che le funzioni \(y=-\arcsin \left( x-1 \right)\) e \(y=\arccos \left( x-1 \right)\) differiscono per una costante e individuala.
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Ricevo da Francesca la seguente domanda:   Buongiorno, Le chiedo gentilmente se può aiutarmi a risolvere il seguente esercizio (n.52 pag.1740 Matematica.blu 2.0): Verifica che le funzioni \(y=-\arcsin \left( x-1 \right)\) e \(y=\arccos \left( x-1 \right)\) differiscono per una costante e individuala. Grazie.   Le rispondo così:   Cara Francesca, poiché nei punti interni dell’intervallo \(\left[ 0,2 \right]\), che costituisce il dominio di entrambe le funzioni, le funzioni stesse sono derivabili e hanno uguale derivata, cioè    \[D\left( -\arcsin \left( x-1 \right) \right)=D\left( \arccos \left( x-1 \right) \right)=-\frac{1}{\sqrt{1-{{\left( x-1 \right)}^{2}}}}\quad \forall x\in \left] 0,2 \right[\]in base a un corollario del teorema di Lagrange possiamo affermare che le due funzioni differiscono al più per una costante. Poiché in generale \[\arccos \left( x \right)=\frac{\pi }{2}-\arcsin \left( x \right)\to \arccos \left( x \right)-\left( -\arcsin \left( x \right) \right)=\frac{\pi }{2}\]la costante in questione è \(\frac{\pi }{2}\). Massimo Bergamini
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