La funzione \(\left| f\left( x \right) \right|\) è definita e continua in tutto \(D_f\), ma la derivabilità viene meno nel punto \(x=1\), dove si verifica che \[\underset{x\to {{0}^{\pm }}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| f\left( 1+h \right)-f\left( 1 \right) \right|}{h}=\]\[=\underset{x\to {{0}^{\pm }}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| h \right|}{h}\left| \frac{\ln \left( 1+h \right)}{h\left( 1-2\ln \left( 1+h \right) \right)} \right|=\pm 1\] cioè il rapporto incrementale, in corrispondenza a \(x=1\), presenta limiti unilaterali diversi. Alla stessa conclusione si sarebbe potuti pervenire osservando che \(\left| f\left( x \right) \right|=-f\left( x \right)\) per \(0<x<1\vee x>\sqrt{e}\), \(\left| f\left( x \right) \right|=f\left( x \right)\) per \(1<x<\sqrt{e}\), per cui anche i limiti destro e sinistro della derivata, per \(x\to 1\), sono opposti, in particolare \(\pm 1\).
Massimo Bergamini
