Una funzione

Ricevo da Elisa la seguente domanda: Caro professore, vorrei un aiuto per lo studio completo di questa funzione: \[f\left( x \right)=\frac{x-6}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x}+1}\quad .\] Grazie. Le rispondo così: Cara Elisa, la funzione in questione è definita e continua nell’insieme \({{D}_{f}}=\left] -\infty ,0 \right]\cup \left[ 2,+\infty \right[\), si annulla in \(x=6\) ed è positiva per \(x>6\), negativa nel resto di \(D_f\). Gli unici limiti significativi sono i seguenti:\[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x-6}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x}+1}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\left| x \right|}\cdot \frac{\left( 1-6/x \right)}{\sqrt{1-2/x}+1/\left| x \right|}=-1\cdot 1=-1\]\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x-6}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x}+1}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\left| x \right|}\cdot \frac{\left( 1-6/x \right)}{\sqrt{1-2/x}+1/\left| x \right|}=1\cdot 1=1\] pertanto il grafico di \(f(x)\) presenta due asintoti orizzontali, \(y=-1\) e \(y=1\). La funzione derivata \[f'\left( x \right)=\frac{\sqrt{{{x}^{2}}-2x}+5x-6}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x}{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x}+1 \right)}^{2}}}\]è definita in \({{D}_{f'}}=\left] -\infty ,0 \right[\cup \left] 2,+\infty \right[\), essendo \(\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f'\left( x \right)=-\infty\) e \(\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f'\left( x \right)=+\infty\): \(x=0\) e \(x=2\) sono punti in cui la funzione è continua ma non derivabile. Studiando il segno e gli zeri della funzione derivata si ricava che \(f'\left( x \right)>0\) per \(x>2\), \(f'\left( x \right)<0\) per \(x<0\), per cui la funzione risulta monotona decrescente per \(x<0\), monotona crescente per \(x>2\), e non si presentano estremi relativi per la funzione, che risulta quindi limitata al codominio \({{C}_{f}}=\left[ -6,1 \right[\). Si può verificare (con l’aiuto dell’informatica, non certo “a mano”…) che la derivata seconda \[f''\left( x \right)=\frac{-2{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}\left( 5\sqrt{{{x}^{2}}-2x}-3 \right)+x\left( 23\sqrt{{{x}^{2}}-2x}-3 \right)-18\sqrt{{{x}^{2}}-2x}-6}{\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}-2x \right)}^{3}}}{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x}+1 \right)}^{3}}}\] non si annulla mai in \(D_f\) ed è sempre negativa, per cui il grafico di \(f(x)\) ha concavità sempre rivolta verso il basso.

Massimo Bergamini

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