Una famiglia di funzioni

Ricevo da Paola la seguente domanda:

 

Gent.mo Professor Bergamini,

mi aiuta per favore a risolvere questo problema (n.25 pag.1844 Manuale blu 2.0.)?

Sia \(f(x)=kx^3-(2k+1)x+2\).

a) Dimostra che al variare di \(k\ne 0\) tutte le funzioni hanno un solo punto di flesso \(F\) che è centro di simmetria del grafico.

b) Individua la traslazione che porta \(F\) nell’origine e scrivi l’equazione della trasformata di \(f(x)\).

c) Trova per quali valori di \(k\) la curva ha punti estremanti; determina per quale valore di \(k\) in \(F\) c’è un punto di flesso orizzontale.

d) Determina \(k\) in modo che la curva abbia un minimo di ascissa \(1\) e trova, in questo caso, l’ordinata del minimo e le coordinate del massimo.

Grazie.

 

Le rispondo così:

 

Cara Paola,

poichè\[f’\left( x \right)=3k{{x}^{2}}-2k+1\quad f”\left( x \right)=6kx\quad f”’\left( x \right)=6k\]si osserva che, per ogni \(k\ne 0\), \(f”\left( x \right)=0\wedge f”\left( x \right)\ne 0\) se e solo se \(x=0\), per cui il punto \(F(0,2\) è il punto flesso comune a tutte le funzioni. Inoltre, la simmetria di centro \(F\), cioè \(x’=-x\), \(y’=4-y\), lascia invariata ogni funzione della famiglia:  \[4-y=-k{{x}^{3}}+\left( 2k+1 \right)x+2\to y=k{{x}^{3}}-\left( 2k+1 \right)x+2\quad .\]La traslazione di vettore \(\vec{v}\left( 0,-2 \right)\), cioè \(x’=x\), \(y’=y-2\), applicata alle funzioni, le trasforma nel modo seguente: \[y+2=k{{x}^{3}}-\left( 2k+1 \right)x+2\to y=k{{x}^{3}}-\left( 2k+1 \right)x\quad .\]La condizione necessaria perché si abbiano estremanti, cioè  \(f’\left( x \right)=0\), è soddisfatta solo se \(\frac{2k+1}{3k}>0\), cioè per \(k<-\frac{1}{2}\vee k>0\): in tal caso, infatti, esistono due distinti valori di \(x\) in cui la derivata si annulla e cambia di segno, mentre per \(k=-\frac{1}{2}\) la derivata prima si annulla solo in \(x=0\) (e così pure la derivata seconda) ma non cambia segno, e pertanto in tal caso \(F(0,2)\) rappresenta un punto di flesso orizzontale. Gli estremanti, posto che sia \(k<-\frac{1}{2}\vee k>0\), si trovano nei punti di ascissa \({{x}_{1,2}}=\pm \sqrt{\frac{2k+1}{3k}}\), per cui un minimo di ascissa \(x=1\) è possibile solo se \(k=1\); in tal caso, infatti, la funzione \(f(x)=x^3-3x+2\) presenta un minimo relativo nel punto \((1,0)\), un massimo relativo nel punto \((-1,4)\).

Massimo Bergamini

Per la lezione

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