con riferimento alla figura, osserviamo innanzitutto che gli spigoli \(AB\), \(BC\), \(AC\), che formano il triangolo equilatero di base, coincidono con le ipotenuse delle facce laterali, cioè misurano \(3\sqrt{2}\) cm, e quindi gli spigoli \(AD\), \(BD\) e \(CD\) misurano \(3\) cm. Poiché l’altezza di ciascuna delle facce laterali, ad esempio \(DM\), misura \(3\sqrt{2}/2\) cm, in quanto congruente alla metà dell’ipotenusa, mentre il raggio \(OM\) della circonferenza inscritta nella base è pari a \(1/3\) dell’altezza \(CM\) di \(ABC\), cioè \(OM=\frac{\sqrt{6}}{2}\) cm, applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo \(MOD\) si ricava l’altezza \(OD=\sqrt{3}\), da cui il volume della piramide \(ABCD\):\[{{V}_{ABCD}}=\frac{1}{3}{{S}_{ABC}}\cdot OD=\frac{1}{3}\cdot \frac{9\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{3}=\frac{9}{2}\ c{{m}^{3}}\quad .\]Poiché, detto \(O_1\) il centro della base \(A_1B_1C_1\) della piramide staccata dal piano secante, sussiste la proporzione \({{S}_{{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}:{{S}_{ABC}}=D{{O}_{1}}^{2}:D{{O}^{2}}\), si ricava che \(D{{O}_{1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) cm, per cui:\[{{V}_{{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}D}}=\frac{1}{3}{{S}_{{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}\cdot {{O}_{1}}D=\frac{1}{3}\cdot \frac{9\sqrt{3}}{8}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9}{16}\ c{{m}^{3}}\quad .\]
Massimo Bergamini
