Uno studio di funzione

Ricevo da Leonardo la seguente domanda: Salve professore, potrebbe gentilmente mostrarmi, passo dopo passo, come poter svolgere lo studio completo della seguente funzione? \[f\left( x \right)= \left| 2\sqrt{x-3}-x+4 \right|\quad .\] Grazie. Gli rispondo così: Caro Leonardo, la funzione ha per dominio l’insieme di esistenza del radicale quadratico, cioè \({{D}_{f}}=\left[ 3,+\infty \right[\), ed è ovviamente sempre non negativa in tale dominio: in particolare, si ha \(f\left( x \right)=0\) per \(x=6+2\sqrt{2}\), unica soluzione accettabile dell’equazione \(2\sqrt{x-3}=x-4\). La natura non simmetrica del dominio esclude a priori la possibilità che \(f(x)\) presenti simmetrie tipo parità o disparità. Esaminando il segno dell’espressione \(2\sqrt{x-3}-x+4\), si deduce che tale espressione è positiva nell’intervallo \(\left[ 3,6+2\sqrt{2} \right[\), negativa nell’intervallo \(\left] 6+2\sqrt{2},+\infty \right[\), e pertanto si potrebbe scrivere \[f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 2\sqrt{x-3}-x+4 \quad 3\le x<6+2\sqrt{2} \\ -2\sqrt{x-3}+x-4 \quad x\ge 6+2\sqrt{2} \end{array} \right.\]da cui si deduce che la funzione è ovunque continua nel suo dominio, e che l’unico limite che interessa è il seguente:\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -2\sqrt{x-3}+x-4 \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,x\left( 1-\frac{2\sqrt{x-3}+4}{x} \right)=+\infty \cdot 1=+\infty \quad .\]La possibilità che vi sia un asintoto obliquo è esclusa dall’esito del calcolo dei seguenti limiti:\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-2\sqrt{x-3}-4}{x}+1=1\]\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f\left( x \right)-x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -2\sqrt{x-3}-4 \right)=-\infty \quad .\] Consideriamo la derivata della funzione, per \(x\ne 6+2\sqrt{2}\):\[f’(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{\sqrt{x-3}}-1 \quad 3\le x<6+2\sqrt{2} \\ -\frac{1}{\sqrt{x-3}}+1 \quad x> 6+2\sqrt{2} \end{array} \right.\]da cui si ricava che la funzione non è derivabile, pur essendo continua, sia nel punto \(x=3\), essendo \(\underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f'=+\infty\), sia nel punto \(x_0=6+2\sqrt{2}\), essendo:\[\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f'=\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{\sqrt{x-3}}-1 \right)=\frac{1}{\sqrt{3+2\sqrt{2}}}-1=\frac{1}{\sqrt{{{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{2}}}}-1=\sqrt{2}-2\]\[\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f'=\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\left( -\frac{1}{\sqrt{x-3}}+1 \right)=2-\sqrt{2}\ne \underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f'\quad .\] Si ricava inoltre che \(f'\left( x \right)=0\) se e solo se \(x=4\): essendo \(f'\left( x \right)>0\) per \(0\le x<4\) e per \(x>6+2\sqrt{2}\), e \(f'\left( x \right)<0\) per \(4<x<6+2\sqrt{2}\), il punto \((4,2)\) rappresenta un massimo relativo per il grafico di \(f(x)\). Il punto \((6+2\sqrt{2},0)\), per evidenti ragioni topologiche, è un minimo, relativo e assoluto, per \(f(x)\), pur non essendo un punto regolare. Dal segno della derivata seconda\[f’’(x)=\left\{ \begin{array}{ll} -\frac{1}{2\sqrt{(x-3)^3}} \quad 3\le x<6+2\sqrt{2} \\ -\frac{1}{2\sqrt{(x-3)^3}} \quad x> 6+2\sqrt{2} \end{array} \right.\] si deduce

che la concavità del grafico di \(f(x)\) è rivolta verso il basso nell’intervallo \(3\le x<6+2\sqrt{2}\), verso l’alto nell’intervallo \(x>6+2\sqrt{2}\). Massimo Bergamini

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