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Punti di non derivabilità

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Ricevo da Giovanni la seguente domanda:   Gentile prof. Bergamini, chiedo il suo aiuto nello svolgimento del seguente esercizio: individua e classifica i punti di non derivabilità della seguente funzione definita per casi: \[f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} -\frac{1}{3}x^3+5x^2+5x \quad 0\le x\le 10 \\ 2x^2+\frac{5}{3}x \quad 10<x<\le 30 \end{array} \right.\] Grazie.   Gli rispondo così:   Caro Giovanni, trattandosi di polinomi, l’unico punto candidato alla non derivabilità è il punto di “sutura” dei due grafici, cioè \(x=10\), dove la funzione è infatti sì continua, essendo \(f\left( 10 \right)=\frac{650}{3}\) coincidente con i limiti destro e sinistro della funzione nel punto, ma non derivabile, in quanto\[\underset{x\to {{10}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f'\left( x \right)=\underset{x\to {{10}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( -{{x}^{2}}+10x+5 \right)=5\]\[\underset{x\to {{10}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f'\left( x \right)=\underset{x\to {{10}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 4x+\frac{5}{3} \right)=\frac{125}{3}\ne \underset{x\to {{10}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f'\left( x \right)\]pertanto il punto \(A\left( 10,\frac{650}{3} \right)\) rappresenta un punto angoloso per il grafico di \(f(x)\). Massimo Bergamini  
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