detto \(r\) il raggio della circonferenza di base del cono, e quindi anche della circonferenza circoscritta alla base quadrata della piramide regolare inscitta in esso, e detta \(h\) l’altezza comune ai due solidi, si ha innanzitutto \[9=\frac{\pi }{3}h{{r}^{2}}\to h=\frac{27}{\pi {{r}^{2}}}\quad .\]Poiché il lato \(AB\) del quadrato di base della piramide ha misura \(\sqrt{2}r\), l’apotema \(VF\) della piramide stessa ha misura \(\sqrt{{{h}^{2}}+\frac{{{r}^{2}}}{2}}=\frac{\sqrt{{{\pi }^{2}}{{r}^{6}}+2\cdot {{3}^{6}}}}{\sqrt{2}\pi {{r}^{2}}}\), quindi la superficie laterale della piramide (= semiperimetro di base \(\times \) apotema) risulta:\[{{S}_{L}}=2\sqrt{2}r\frac{\sqrt{{{\pi }^{2}}{{r}^{6}}+2\cdot {{3}^{6}}}}{\sqrt{2}\pi {{r}^{2}}}=\frac{2\sqrt{{{\pi }^{2}}{{r}^{6}}+2\cdot {{3}^{6}}}}{\pi r}\] e pertando, derivando rispetto ad \(r\) e analizzando zeri e segno della derivata, si ha: \[{{S}_{L}}'=\frac{4\left( {{\pi }^{2}}{{r}^{6}}-{{3}^{6}} \right)}{\pi {{r}^{2}}\sqrt{{{\pi }^{2}}{{r}^{6}}+2\cdot {{3}^{6}}}}\to {{S}_{L}}'=0\leftrightarrow r=\frac{3}{\sqrt[3]{\pi }}\] con \({{S}_{L}}'<0\) per \(r<\frac{3}{\sqrt[3]{\pi }}\), \({{S}_{L}}'>0\) per \(r>\frac{3}{\sqrt[3]{\pi }}\), per cui \[r=\frac{3}{\sqrt[3]{\pi }}\;dm\]corrisponde al minimo cercato: l’altezza relativa è \[h=\frac{27}{\pi {{r}^{2}}}=\frac{3}{\sqrt[3]{\pi }}\] cioè la piramide cercata è quella inscritta nel cono equilatero.
Massimo Bergamini
