Un problema di max/min

Ricevo da Emanuela la seguente domanda: Salve, mi trovo in difficoltà con questo problema di massimo e minimo: Data una semicirconferenza di diametro \(AB=2r\), traccia la tangente \(t\) in \(A\) e, preso sulla semicirconferenza un punto \(P\), indica con \(C\) la sua proiezione su \(t\). Trova \(P\) in modo che la somma di \(PB+PC\) sia massima. Le rispondo così: Cara Emanuela, posto \(x=A\hat{B}P\), con \(0\le x\le \frac{\pi }{2}\), e detta \(H\) la proiezione di \(P\) su \(AB\), si ha:\[PB=AB\cos x=2r\cos x\quad PC=AH=AB-PB\cos x=2r\left( 1-{{\cos }^{2}}x \right)=2r{{\sin }^{2}}x\]pertanto, la funzione di cui cercare il massimo è \[f\left( x \right)=2r\left( \cos x+{{\sin }^{2}}x \right)\]la cui derivata \[f'\left( x \right)=2r\left( -\sin x+2\sin x\cos x \right)=2r\sin x\left( 2\cos x-1 \right)\]si annulla, nell’intervallo di interesse, o per \(x=0\) o per \(x=\frac{\pi }{3}\), e poiché in tale intervallo \(\sin x\ge 0\) e \(2\cos x-1>0\) per \(0\le x<\pi /3\), si conclude che in \(x=\frac{\pi }{3}\) si verifica il massimo cercato, corrispondente a \(PB+PC=\frac{5}{2}r\). Massimo Bergamini

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