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Ancora un problema di max/min

Giovanni propone il seguente problema di max/min: è data la semicirconferenza di diametro \(AB=2r\); determina su di essa un punto \(C\) tale che, condotta la perpendicolare \(CD\) ad \(AB\), risulti massima la somma \(CD+DB\).
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Ricevo da Giovanni la seguente domanda:   Gentile professor Bergamini, le propongo il seguente problema: è data la semicirconferenza di diametro \(AB=2r\); determina su di essa un punto \(C\) tale che, condotta la perpendicolare \(CD\) ad \(AB\), risulti massima la somma \(CD+DB\). Grazie.   Gli rispondo così:   Caro Giovanni, posto \(x=A\hat{B}C\), con \(0\le x\le \frac{\pi }{2}\), si ha:\[CB=AB\cos x=2r\cos x\quad CD=CB\sin x=2r\sin x\cos x \quad DB=CB\cos x=2r\cos^{2}x\]  pertanto, la funzione di cui cercare il massimo è    \[f\left( x \right)=2r\cos x\sin x+2r{{\cos }^{2}}x=r\sin 2x+r+r\cos 2x=\]\[=r\left( \sqrt{2}\sin \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)+1 \right)\]la cui derivata \[f'\left( x \right)=2\sqrt{2}r\cos \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)\]si annulla, nell’intervallo di interesse, per  \(x=\frac{\pi }{8}\), e poiché in tale intervallo la derivata è dapprima positiva poi negativa in un intorno di tale valore, si conclude che in \(x=\frac{\pi }{8}\) si verifica il massimo cercato, corrispondente a \(CD+DB=(\sqrt{2}+1)r\).   Massimo Bergamini

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