Un problema difficile

Ricevo da Alida la seguente domanda: Professore, necessito di un aiuto per il seguente problema (n.203, pag.424, matematica.blu 2.0), grazie! Sia E un'ellisse nel piano e sia \(A\) un punto fissato all'interno di E. Si supponga che due rette perpendicolari passanti per \(A\) intersechino E rispettivamente nei punti \(P\), \(P'\), \(Q\), \(Q'\). Dimostra che \[\frac{1}{\overline{AP}\cdot \overline{AP'}}+\frac{1}{\overline{AQ}\cdot \overline{AQ'}}\] è indipendente dalla scelta delle rette. Le rispondo così: Cara Alida, devo riconoscere che ti sei imbattuta in un problema un po’ “fuori misura” come grado di difficoltà… Tralasciando (per ora..) tentativi di soluzioni “eleganti” basati sulla geometria proiettiva e le proprietà affini dell’ellisse, un approccio diretto al problema basato sulla geometria analitica porta al risultato dopo calcoli molto onerosi. In sintesi, detto \(A\left( {{x}_{A}},{{y}_{A}} \right)\) un generico interno alla generica ellisse canonica E di equazione \(\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\), cioè tale che \(-a\le {{x}_{A}}\le a\ \wedge \ -b\le {{y}_{A}}\le b\), e considerate le generiche rette perpendicolari passanti per \(A\), cioè \(r:y=m\left( x-{{x}_{A}} \right)+{{y}_{A}}\) e \(s:y=-\frac{1}{m}\left( x-{{x}_{A}} \right)+{{y}_{A}}\), si procede alla determinazione delle coordinate dei punti \(P\), \(P'\), \(Q\), \(Q'\) risolvendo i sistemi retta-ellisse, e quindi si calcolano le distanze da \(A\), ottenendo le seguenti espressioni:\[\frac{1}{\overline{AP}\cdot \overline{AP'}}=\frac{{{b}^{2}}+{{a}^{2}}{{m}^{2}}}{\left( {{a}^{2}}{{b}^{2}}-{{b}^{2}}x_{A}^{2}-{{a}^{2}}y_{A}^{2} \right)\left( 1+{{m}^{2}} \right)}\]\[\frac{1}{\overline{AQ}\cdot \overline{AQ'}}=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}{{m}^{2}}}{\left( {{a}^{2}}{{b}^{2}}-{{b}^{2}}x_{A}^{2}-{{a}^{2}}y_{A}^{2} \right)\left( 1+{{m}^{2}} \right)}\]Per cui:\[\frac{1}{\overline{AP}\cdot \overline{AP'}}+\frac{1}{\overline{AQ}\cdot \overline{AQ'}}=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{\left( {{a}^{2}}{{b}^{2}}-{{b}^{2}}x_{A}^{2}-{{a}^{2}}y_{A}^{2} \right)}\quad \forall m\ne 0\] e poiché l’espressione a destra dell’uguale non dipende da \(m\), cioè dalla scelta delle rette \(r\) e \(s\), la dimostrazione è conclusa (per la verità bisognerebbe anche verificare la validità della relazione nel caso \(m=0\), cioè nel caso in cui le rette \(r\) e \(s\) siano parallele agli assi coordinati..!). Massimo Bergamini

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