Ricevo da Annalisa la seguente domanda: Gentile professore, non riesco a risolvere questo integrale: \[\int{\sqrt{{{e}^{x}}+1}dx}\quad .\] Grazie. Le rispondo così: Cara Annalisa, posto \(t=\sqrt{{{e}^{x}}+1}\) si ha:\[x=\ln \left( {{t}^{2}}-1 \right)\to dx=\frac{2t}{{{t}^{2}}-1}dt\] per cui: \[\int{\sqrt{{{e}^{x}}+1}dx}=\int{\frac{2{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}-1}dt}=2\int{\frac{{{t}^{2}}-1}{{{t}^{2}}-1}dt}+2\int{\frac{1}{{{t}^{2}}-1}dt}=\] \[=2t+\int{\frac{1}{t-1}dt-}\int{\frac{1}{t+1}dt}=2t+\ln \frac{\left| t-1 \right|}{\left| t+1 \right|}+c=\]\[=2\sqrt{{{e}^{x}}+1}+\ln \frac{\sqrt{{{e}^{x}}+1}-1}{\sqrt{{{e}^{x}}+1}+1}+c=2\sqrt{{{e}^{x}}+1}+2\ln \left( \sqrt{{{e}^{x}}+1}-1 \right)-x+c\quad .\] Massimo Bergamini
