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Una popolazione di insetti

Ci viene proposto il seguente problema: La numerosità di una popolazione di insetti è ben modellizzata dalla funzione: \[P\left( t \right)=\frac{8000}{1+40{{e}^{-0,2t}}}\]dove \(P(t)\) rappresenta il numero di insetti della popolazione e \(t\) è il tempo, misurato in mesi. Stabilisci dopo quanto tempo dall'inizio dell’osservazione (\(t=0\)) la velocità di crescita della popolazione inizia a diminuire. Esprimi il risultato in mesi e giorni, arrotondato ai giorni (assumi che un mese abbia 30 giorni).
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Ricevo la seguente domanda:   Caro professore, le scrivo perché non ho alcuna idea su come impostare il seguente problema: La numerosità di una popolazione di insetti è ben modellizzata dalla funzione: \[P\left( t \right)=\frac{8000}{1+40{{e}^{-0,2t}}}\]dove \(P(t)\) rappresenta il numero di insetti della popolazione e \(t\) è il tempo, misurato in mesi. Stabilisci dopo quanto tempo dall'inizio dell’osservazione (\(t=0\)) la velocità di crescita della popolazione inizia a diminuire. Esprimi il risultato in mesi e giorni, arrotondato ai giorni (assumi che un mese abbia 30 giorni). Grazie.   Rispondo così:   Caro(a) anonimo(a), la funzione \(P(t)\) è un esempio classico di quello che viene detto modello logistico di crescita di una popolazione: la funzione è sempre crescente ma la velocità di crescita, dapprima anch’essa crescente, ad un certo momento \(\bar{t}\), raggiunto un massimo, comincia a decrescere, portandosi asintoticamente verso zero, con conseguente tendenza della popolazione a stabilizzarsi asintoticamente verso un valore massimo costante. Per individuare l’istante \(\bar{t}\) si devono analizzare la funzione velocità di crescita \(v(t)\), cioè la derivata della funzione \(P(t)\): \[v\left( t \right)=P'\left( t \right)=\frac{64000\cdot {{e}^{-0,2t}}}{{{\left( 1+40{{e}^{-0,2t}} \right)}^{2}}}\]e la funzione “accelerazione” \(a(t)\), cioè la derivata di \(v(t)\), ossia la derivata seconda di \(P(t)\):\[a\left( t \right)=v'\left( t \right)=P''\left( t \right)=\frac{64000\cdot {{e}^{-0,2t}}\left( 8{{e}^{-0,2t}}-0,2 \right)}{{{\left( 1+40{{e}^{-0,2t}} \right)}^{3}}}\]per concludere che, essendo \(a\left( t \right)=0\leftrightarrow {{e}^{-0,2t}}=\frac{1}{40}\to t=5\ln 40\), ed essendo \(a\left( t \right)>0\) per \(t<5\ln 40\) e \(a\left( t \right)<0\) per \(t>5\ln 40\), tale istante rappresenta un punto di flesso per il grafico di \(P(t)\), e la velocità \(v(t)\) presenta per \(\bar{t}=5\ln 40\) il massimo cercato, cioè: \[\bar{t}=5\ln 40\approx 18,444\ mesi\approx 18\ mesi\ 13\ giorni\quad .\] Massimo Bergamini
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