Tre limiti da verificare

Ricevo da Marcello la seguente domanda: Gentile professore, le sarei grato se mi aiutasse a risolvere i seguenti esercizi (nn. 66, 68, 71 pag.1202 Matematica Azzurro): Utilizzando la definizione di limite, verifica i seguenti limiti: \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)=1\quad\quad \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-4}{x-2}=4\quad\quad \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+4}{x}=4\quad .\] Grazie. Gli rispondo così: Caro Marcello, posto che sia \(\varepsilon >0\) un numero reale piccolo a piacere, nel primo caso si tratta di verificare che esista comunque un intorno di \(x=0\) tale che per ogni \(x\) di tale intorno, escluso al più \(x=0\) stesso, si abbia:\[\left| {{x}^{2}}-2x+1-1 \right|<\varepsilon \to \left| {{x}^{2}}-2x \right|<\varepsilon \to {{x}^{2}}-2x-\varepsilon <0\ \wedge \ {{x}^{2}}-2x+\varepsilon >0\to \] \[\to 1-\sqrt{1+\varepsilon }<x<1+\sqrt{1+\varepsilon }\ \wedge \ x<1-\sqrt{1-\varepsilon }\ \vee \ x>1+\sqrt{1-\varepsilon }\to \] \[\to 1-\sqrt{1+\varepsilon }<x<1-\sqrt{1-\varepsilon }\quad \vee\quad 1+\sqrt{1-\varepsilon }<x<1+\sqrt{1+\varepsilon }\] Il primo dei due insiemi, cioè \(1-\sqrt{1+\varepsilon }<x<1-\sqrt{1-\varepsilon }\), rappresenta l’intorno di \(x=0\) cercato, per cui il limite risulta verificato. Si noti che l’insieme contiene anche un intorno di \(x=2\), il che dimostra che è anche \(\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)=1\). Nel secondo caso, verifichiamo che esista un intorno di \(x=2\) tale che per ogni \(x\) di tale intorno, escluso al più \(x=2\) stesso, si abbia: \[\left| \frac{{{x}^{2}}-4}{x-2}-4 \right|<\varepsilon \to \left| x+2-4 \right|<\varepsilon \to \left| x-2 \right|<\varepsilon \]che si presenta immediatamente come l’intorno di \(x=2\) cercato; si noti la possibilità di semplificare il fattore comune nella frazione algebrica, dovuto al fatto che siamo interessati solo ai valori di \(x\) vicini a \(x=2\) ma non a \(x=2\) stesso, e tale fattore, per \(x\ne 2\), è non nullo e quindi semplificabile. Infine, anche nell’ultimo caso siamo interessati a cercare un intorno di \(x=2\) tale che per ogni \(x\) di tale intorno, escluso al più \(x=2\) stesso, si abbia:\[\left| \frac{{{x}^{2}}+4}{x}-4 \right|<\varepsilon \to \left| \frac{{{x}^{2}}-4x+4}{x} \right|<\varepsilon \to \]\[\frac{{{x}^{2}}-\left( 4+\varepsilon \right)x+4}{x}<0\ \wedge \ \frac{{{x}^{2}}-\left( 4-\varepsilon \right)x+4}{x}>0\to \]\[\frac{{{x}^{2}}-\left( 4+\varepsilon \right)x+4}{x}<0\ \wedge \ \frac{{{x}^{2}}-\left( 4-\varepsilon \right)x+4}{x}>0\to \]\[2+\frac{\varepsilon -\sqrt{8\varepsilon +{{\varepsilon }^{2}}}}{2}<x<2+\frac{\varepsilon +\sqrt{8\varepsilon +{{\varepsilon }^{2}}}}{2}\ \wedge \ x>0\to \]\[2-\frac{\sqrt{8\varepsilon +{{\varepsilon }^{2}}}-\varepsilon}{2}<x<2+\frac{\varepsilon +\sqrt{8\varepsilon +{{\varepsilon }^{2}}}}{2}\]che è l’intorno cercato; si noti che la seconda disequazione si è ridotta a \(x>0\) in quanto il numeratore è un trinomio con discriminante negativo, essendo \(4-\varepsilon <4\), e pertanto sempre positivo. Massimo Bergamini

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