Iperbole e trasformazioni

Ricevo da Elisa la seguente domanda: Caro professore, mi aiuti a capire questo quesito trovare l’equazione dell’iperbole corrispondente dell’iperbole di equazione \(\frac{{{x}^{2}}}{4}-{{y}^{2}}=1\) a) nella traslazione \(\tau\) di vettore \(\vec{v}\left( -1,1 \right)\); b) nella simmetria \(\sigma\) di centro \((-1,1)\); c) nella trasformazione composta \(\tau \circ \sigma\); d) nella trasformazione composta \(\sigma \circ \tau\); Grazie. Le rispondo così: Cara Elisa, scriviamo le equazioni delle quattro trasformazioni coinvolte:\[\tau=\left\{ \begin{array}{ll} x’=x-1 \\ y’=y+1 \end{array} \right. \quad\quad \sigma=\left\{ \begin{array}{ll} x’=-2-x \\ y’=2-y \end{array} \right. \]\[\tau \circ \sigma =\left\{ \begin{array}{ll} x’=-3-x \\ y’=3-y \end{array} \right. \quad\quad \sigma \circ \tau =\left\{ \begin{array}{ll} x’=-1-x \\ y’=1-y \end{array} \right. \]e le rispettive inverse:\[\tau^{-1}=\left\{ \begin{array}{ll} x’=x+1 \\ y’=y-1 \end{array} \right. \quad\quad \sigma^{-1}=\left\{ \begin{array}{ll} x’=-2-x \\ y’=2-y \end{array} \right. \]\[(\tau \circ \sigma)^{-1} =\left\{ \begin{array}{ll} x’=-3-x \\ y’=3-y \end{array} \right. \quad\quad (\sigma \circ \tau)^{-1} =\left\{ \begin{array}{ll} x’=-1-x \\ y’=1-y \end{array} \right. \]Si noti che le ultime tre trasformazioni, in quanto simmetrie centrali, sono involutorie, cioè coincidono con le proprie inverse. Detta \(\gamma\) l’iperbole di equazione \(\frac{{{x}^{2}}}{4}-{{y}^{2}}=1\), per ricavare l’equazione dell’iperbole trasformata di \(\gamma\) in ciascuno dei quattro casi sostituiamo a \(x\) e \(y\) nell’equazione le espressioni di \(x’\) e \(y’\) delle corrispondenti trasformazioni inverse: \[\tau \left( \gamma \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}-4{{\left( y-1 \right)}^{2}}=4\to {{x}^{2}}-4{{y}^{2}}+2x+8y-7=0\]\[\sigma \left( \gamma \right):{{\left( -2-x \right)}^{2}}-4{{\left( 2-y \right)}^{2}}=4\to {{x}^{2}}-4{{y}^{2}}+4x+16y-16=0\]\[\left( \tau \circ \sigma \right)\left( \gamma \right):{{\left( -3-x \right)}^{2}}-4{{\left( 3-y \right)}^{2}}=4\to {{x}^{2}}-4{{y}^{2}}+6x+24y-31=0\]

\[\left( \sigma \circ \tau \right)\left( \gamma \right):{{\left( -1-x \right)}^{2}}-4{{\left( 1-y \right)}^{2}}=4\to {{x}^{2}}-4{{y}^{2}}+2x+8y-7=0\]Si noti che \(\tau \left( \gamma \right)=\left( \sigma \circ \tau \right)\left( \gamma \right)\). Massimo Bergamini

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