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Problemi di calcolo combinatorio

Ricevo da Ettore alcuni quesiti di calcolo combinatorio: 1) Date le cifre \(2\), \(3\), \(4\) e \(5\) determinare quanti numeri maggiori di \(40\) e minori di \(10000\) si possono formare. 2) Quanti sono i numeri che iniziano con \(5\) costituiti da due, tre e quattro cifre? 3) Un'urna contiene \(4\) palline nere, \(2\) bianche e \(5\) verdi. Quanti sono i gruppi che si possono formare con \(2\) palline nere, \(1\) bianca e \(3\) verdi?
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Ricevo da Ettore la seguente domanda:   Caro professore, alcuni quesiti presi dal suo testo che non mi sono chiari: 1) Date le cifre \(2\), \(3\), \(4\) e \(5\) determinare quanti numeri maggiori di \(40\) e minori di \(10000\) si possono formare. 2) Quanti sono i numeri che iniziano con \(5\) costituiti da due, tre e quattro cifre? 3) Un'urna contiene \(4\) palline nere, \(2\) bianche e \(5\) verdi. Quanti sono i gruppi che si possono formare con \(2\) palline nere, \(1\) bianca e \(3\) verdi?   Gli rispondo così:   Caro Ettore, nel primo caso si tratta di sommare diverse disposizioni con ripetizione: i possibili numeri di due cifre, maggiori di \(40\), per i quali la prima cifra può essere scelta fra \(2\) (il \(4\) e il \(5\)), la seconda fra \(4\), sono in totale \(2\cdot 4 =8\); i possibili numeri di tre cifre, per i quali le tre cifre possono essere scelte fra \(4\), sono in totale \(4^3 = 64\);  i possibili numeri di quattro cifre, per i quali le quattro cifre possono essere scelte fra \(4\), sono in totale \(4^4 = 256\). Non sono possibili numeri di cinque cifre minori di \(10000\) con le cifre a disposizione, per cui la risposta è: \(8+64+256=328\). Nel secondo caso, ancora si devono sommare le seguenti disposizioni con ripetizione: numeri di due cifre che iniziano per \(5\), cioè \(10\), numeri di tre cifre che iniziano per \(5\), cioè \(100\), numeri di quattro cifre che iniziano per \(5\), cioè \(1000\), totale: \(10+100+1000=1110\). Infine, i possibili gruppi di \(2\) palline nere, \(1\) bianca e \(3\) verdi si ricavano per moltiplicazione di tre combinazioni semplici, cioè il numero di possibili coppie di palline nere che si possono formare da \(4\), indipendentemente dall’ordine (\({{C}_{4,2}}=4!/(2!\cdot 2!)=6\)), per il numero di possibili scelte di una pallina bianca da \(2\) (ovviamente \(2\)), per il numero di possibili terne di palline verdi che si possono formare da \(5\) indipendentemente dall’ordine (\({{C}_{5,3}}=5!/(2!\cdot 3!)=10\)), per cui, in totale: \(6\cdot 2\cdot 10=120\).   Massimo Bergamini

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