Riccardo propone il seguente quesito sulla probabilità condizionata:
Calcola la probabilità che, lanciando quattro monete, la faccia testa esca due volte, sapendo che è uscita almeno una volta.
Ricevo da Riccardo la seguente domanda:Gent.mo Professore,non riesco a risolvere questo esercizio (n.82, pag. \(\alpha\) 87, Matematica.blu 2.0):Calcola la probabilità che, lanciando quattro monete, la faccia testa esca due volte, sapendo che è uscita almeno una volta. GrazieGli rispondo così:Caro Riccardo,si tratta di calcolare la seguente probabilità condizionata:\[p\left( {{E}_{1}}|{{E}_{2}} \right)=\frac{p\left( {{E}_{1}}\cap {{E}_{2}} \right)}{p\left( {{E}_{2}} \right)}\]essendo \(E_1\) = “testa esce \(2\) volte su \(4\) lanci”, \(E_2\) = “testa esce almeno una volta su \(4\) lanci”. Per il calcolo di \(p\left( {{E}_{1}}\cap {{E}_{2}} \right)\) e di \(p\left( {{E}_{2}} \right)\) ricorriamo alla formula di Bernoulli per le prove ripetute, dove \(n\) è il numero di prove, \(k\) il numero di successi, \(p\) la probabilità di successo in ogni prova:\[{{p}_{n,k}}={{C}_{n,k}}{{p}^{k}}{{\left( 1-p \right)}^{n-k}}\]che, nel nostro caso, presenta \(n=4\), \(p=1-p=1/2\). Pertanto, essendo \({{E}_{1}}\subset {{E}_{2}}\Rightarrow {{E}_{1}}\cap {{E}_{2}}={{E}_{1}}\):\[p\left( {{E}_{1}}\cap {{E}_{2}} \right)=p\left( {{E}_{1}} \right)=\frac{4!}{2!2!}\cdot {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}\cdot {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{3}{8}\]\[p\left( {{E}_{2}} \right)=1-p\left( \overline{{{E}_{2}}} \right)=1-\frac{4!}{0!4!}\cdot {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{0}}\cdot {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{4}}=\frac{15}{16}\]da cui:\[p\left( {{E}_{1}}|{{E}_{2}} \right)=\frac{3}{8}\cdot \frac{16}{15}=\frac{2}{5}\quad .\]Massimo Bergamini
