Aula di Scienze

Aula di Scienze

Persone, storie e dati per capire il mondo

Speciali di Scienze
Materie
Biologia
Chimica
Fisica
Matematica
Scienze della Terra
Tecnologia
I blog
Sezioni
Come te lo spiego
Science News
Podcast
Interviste
Video
Animazioni
L'esperto di matematica
L'esperto di fisica
L'esperto di chimica
Chi siamo
Cerca
L'esperto di matematica

Trapezio e piramide

Ivo propone un problema di geometria piana e solida, relativo a trapezi e piramidi.
leggi
Ricevo da Ivo la seguente domanda:   Caro Professore, il trapezio \(ABCD\), rettangolo in \(A\) e \(D\), è circoscrivibile a una circonferenza. Sapendo che \(AB:CD=7:3\), determinare il rapporto \(AD:CD\). La piramide che ha per base il trapezio dato, vertice \(V\) e altezza \(VC\) uguale alla proiezione del lato \(BC\) su \(AB\), ha l'area della superficie laterale di \(1210\;cm^2\). Calcolare il perimetro del trapezio \(ABCD\) e il volume della piramide. Grazie.   Gli rispondo così:   Caro Ivo, con riferimento alla figura, poniamo \[DR=DS=AS=AP=x,\ PB=QB=y,\ QC=RC=z\] da cui \(HC=y-z\). Poiché il triangolo \(CHB\) è rettangolo, si ha:\[4{{x}^{2}}+{{\left( y-z \right)}^{2}}=\left( y+z \right)^2\quad \wedge \quad \frac{x+y}{x+z}=\frac{7}{3}\to \]\[\to \frac{y}{x}=\frac{x}{z}\quad \wedge \quad \frac{1+y/x}{1+z/x}=\frac{7}{3}\to \frac{1+x/z}{1+z/x}=\frac{7}{3}\to \frac{z}{x}=\frac{3}{7}\]da cui\[\frac{AD}{DC}=\frac{2x}{x+z}=\frac{2}{1+z/x}=\frac{7}{5}\]e inoltre:\[y=\frac{7}{3}x\quad z=\frac{3}{7}x\quad .\]Possiamo quindi esprimere il perimetro in funzione della sola variabile \(x\):\[2p=4x+2y+2z=\frac{200}{21}x\]e possiamo esprimere in termini di \(x\) anche l’altezza \(CV=BH=\frac{40}{21}x\) e le aree delle facce \(DCV\), \(BCV\), \(DAV\) e \(ABV\), dopo avere osservato che le prime tre sono triangoli rettangoli con ipotenusa rispettivamente \(DV=\frac{50}{21}x\), \(BV=\frac{2\sqrt{1241}}{21}x\), \(AV=\frac{2\sqrt{1066}}{21}x\) e aree:\[{{S}_{DCV}}=\frac{200}{147}{{x}^{2}},\quad {{S}_{BCV}}=\frac{1160}{441}{{x}^{2}},{{S}_{DCV}}=\frac{50}{21}{{x}^{2}}\quad .\]Per quanto riguarda la faccia \(ABV\), notiamo che i suoi lati \(AB\), \(BV\), \(AV\) , divise per \(\frac{2x}{21}\), danno la terna \(35\), \(\sqrt{1241}\), \(\sqrt{1066}\), quindi, dette \(h\) e \(k\) le proiezioni di \(AV\) e \(BV\) su \(AB\) divise per \(\frac{2x}{21}\), si ha:\[h+k=35\quad 1066-{{h}^{2}}=1241-{{k}^{2}}\to h=15,\ k=25\] per cui l’altezza \(VN\) di \(ABV\) risulta \(VN=\frac{58}{21}x\), e di conseguenza \({{S}_{ABV}}=\frac{290}{63}{{x}^{2}}\). Uguagliando l’area totale delle facce a \(1210\), si ha:\[\left( \frac{200}{147}+\frac{1160}{441}+\frac{50}{21}+\frac{290}{63} \right){{x}^{2}}=1210\to \frac{4840}{{{21}^{2}}}{{x}^{2}}=1210\to x=\frac{21}{2}\]per cui:\[2p=\frac{200}{21}x=\frac{200}{21}\cdot \frac{21}{2}=100\ cm\quad V=\frac{1}{3}\cdot 25\cdot 21\cdot 20=3500\ c{{m}^{3}}\quad .\] Massimo Bergamini
figura993

Devi completare il CAPTCHA per poter pubblicare il tuo commento