Il teorema di Rolle

Ricevo da Elisa la seguente domanda: Caro professore, mi aiuti a risolvere questo quesito: la funzione \(f\left( x \right)=\left| {{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+4x \right|\) verifica le ipotesi del teorema di Rolle nell’intervallo chiuso \(\left[ 0,2 \right]\)? In caso affermativo determinare il punto in cui è verificata la tesi ed illustrare il significato geometrico del risultato ottenuto. Grazie. Le rispondo così: Cara Elisa, la funzione, che può riscriversi in questo modo:\[f\left( x \right)=\left| x{{\left( x-2 \right)}^{2}} \right|=\left| x \right|{{\left( x-2 \right)}^{2}}\]è continua in tutti i punti dell’intervallo chiuso \(\left[ 0,2 \right]\) e derivabile in ogni punto interno a tale intervallo: infatti, la funzione è non derivabile (punto angoloso) solo nell’estremo \(x=0\), dove si ha:\[\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f'\left( x \right)=-4\ne \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f'\left( x \right)=4\quad .\] Poichè inoltre \(f(0)=f(2)=0\), le ipotesi del teorema di Rolle sono soddisfatte e la tesi (esistenza di almeno un punto \(x=c\) interno all’intervallo in cui si abbia \(f'\left( c \right)=0\)) è verificata per \(c=\frac{2}{3}\), essendo, per \(x>0\):\[f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-8{{x}^{2}}+4=0\leftrightarrow x=\frac{2}{3}\ \vee \ x=2\quad .\]

Massimo Bergamini

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