Ricevo da Giancarlo la seguente domanda:Salve professore, puo risolvermi questi tre problemi?1) Un cono la cui altezza è \(3/2\) del diametro di base ha volume \(8\pi {{a}^{3}}\). Determina il volume della piramide quadrangolare regolare inscritta nel cono. 2) Un cono ha apotema di misura \(10a\) e raggio di base di misura \(6a\). La sezione del cono con un piano parallelo alla sua base ha area \(9\pi a^2\). Qual è il volume del tronco di cono che ha come basi la sezione del cono con il piano e la base?3) Determina il rapporto tra il volume del cilindro equilatero inscritto in una sfera di raggio \(r\) e il volume della sfera .Gli rispondo così:Caro Giancarlo,nel primo caso, detto \(r\) il raggio di base del cono e \(h\) l’altezza comune a cono e piramide, si ha \(h=3r\), per cui \[8\pi {{a}^{3}}=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\pi {{r}^{3}}\to r=2a\] e di conseguenza \(h=6a\). Detto \(l\) il lato del quadrato inscritto nella base del cono, si ha \(l=2\sqrt{2}a\), da cui il volume \(V\) della piramide:\[V=\frac{{{l}^{3}}h}{3}=\frac{8{{a}^{3}}\cdot 6a}{3}=16{{a}^{3}}\quad .\]Nel secondo caso, si ha dalle ipotesi che l’altezza del cono misura \(8a\), e il raggio della sezione misura \(3a\), cioè la metà del raggio di base: per similitudine, si deduce che la distanza dal vertice di tale sezione è \(4a\), e quindi il volume \(V_T\) del tronco di cono si può calcolare come differenza tra il volume del cono e il volume di un cono simile con raggio di base e altezza pari alla metà di quelli del cono stesso, cioè con volume pari a \(1/8\) di quello del cono: ne consegue che \(V_T\) ha un volume pari a \(7/8\) di quello del cono:\[{{V}_{T}}=\frac{7}{8}\frac{\pi }{3}36{{a}^{2}}\cdot 8a=84\pi {{a}^{3}}\quad .\]Nell’ultimo caso, poiché la sezione del cilindro equilatero è il quadrato inscritto nel cerchio massimo della sfera, e tale quadrato ha semilato \(R=\frac{\sqrt{2}r}{2}\), si ha, detti \(V_C\) il volume del cilindro e \(V_S\) il volume della sfera:\[{{V}_{C}}=2\pi {{R}^{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\pi {{r}^{3}},\ {{V}_{S}}=\frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}\to \frac{{{V}_{C}}}{{{V}_{S}}}=\frac{3}{8}\sqrt{2}\quad .\]Massimo Bergamini
2 Commenti
G
Gaia
28 novembre 2023 alle 19:42
Ho bisogno di aiuto per dei problemi
G
Gaia
28 novembre 2023 alle 19:43
Un cilindro ha l'area laterale di 304π cm² e l'altezza di 19 cm. Calcola la misura del raggio
Gaia
28 novembre 2023 alle 19:42
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Gaia
28 novembre 2023 alle 19:43
Un cilindro ha l'area laterale di 304π cm² e l'altezza di 19 cm. Calcola la misura del raggio