può essere più agevole immaginare di operare una traslazione che porti la retta \(y=3\) a coincidere con l’asse \(x\), cioè una traslazione di vettore \(\vec{v}\left( 0,-3 \right)\), in seguito alla quale la parabola \(\gamma\) diventa la parabola isometrica \(\gamma^\prime\) di equazione \(y=-x^2+4x-3\) che interseca l’asse \(x\) nei punti di ascissa \(x=1\) e \(x=3\), ottenendo un problema equivalente in cui il volume del solido equivale al seguente integrale definito:
\[V=\pi \int\limits_{1}^{3}{{{\left( -{{x}^{2}}+4x-3 \right)}^{2}}dx}=\]\[\pi \int\limits_{1}^{3}{{{\left( {{x}^{4}}-8{{x}^{3}}+22{{x}^{2}}-24x+9 \right)}^{2}}dx}=\]\[=\pi \left[ \frac{1}{5}{{x}^{5}}-2{{x}^{4}}+\frac{22}{3}{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+9x \right]_{1}^{3}=\frac{16}{15}\pi \quad .\]
Massimo Bergamini
