Ricevo da Elisa la seguente domanda:Professore, come si risolvono queste equazioni differenziali?\[y''-7y'+12y={{e}^{3x}}\quad \quad y''+5y'+6y={{e}^{-3x}}\quad .\]Grazie.Le rispondo così:Cara Elisa,la prima equazione ha equazione caratteristica con radici reali \(3\) e \(4\), per cui l’integrale generale dell’omogenea associata è \({{y}_{0}}={{c}_{1}}{{e}^{3x}}+{{c}_{2}}{{e}^{4x}}\). Per quanto riguarda un integrale particolare \(\bar{y}\), consideriamo una funzione della forma \(\bar{y}=Ax{{e}^{3x}}\), per cui: \[\bar{y}'=A{{e}^{3x}}\left( 1+3x \right)\quad \quad y''=3A{{e}^{3x}}\left( 2+3x \right)\to \]\[\to A{{e}^{3x}}\left( 6+9x-7-21x+12x \right)={{e}^{3x}}\to -A=1\to \bar{y}=-x{{e}^{3x}}\] Quindi, l’integrale generale è \[y\left( x \right)={{c}_{1}}{{e}^{3x}}+{{c}_{2}}{{e}^{4x}}-x{{e}^{3x}}\quad .\] Analogamente, la seconda equazione ha equazione caratteristica con radici reali \(-2\) e \(-3\), per cui l’integrale generale dell’omogenea associata è \({{y}_{0}}={{c}_{1}}{{e}^{-2x}}+{{c}_{2}}{{e}^{-3x}}\). Per quanto riguarda un integrale particolare \(\bar{y}\), consideriamo una funzione della forma \(\bar{y}=Ax{{e}^{-3x}}\), per cui: \[\bar{y}'=A{{e}^{3x}}\left( 1-3x \right)\quad \quad y''=3A{{e}^{3x}}\left( -2+3x \right)\to \]\[\to A{{e}^{-3x}}\left( -6+9x+5-15x+6x \right)={{e}^{-3x}}\to -A=1\to \bar{y}=-x{{e}^{-3x}}\] Quindi, l’integrale generale è \[y\left( x \right)={{c}_{1}}{{e}^{-2x}}+{{c}_{2}}{{e}^{-3x}}-x{{e}^{-3x}}\quad .\]Massimo Bergamini
