Un moto rettilineo

Ricevo da Elisa la seguente domanda: Professore, un vostro quesito (n.474, pag.2070, Matematica.blu 2.0): Un carrello inizia a muoversi su un binario rettilineo con accelerazione che varia nel tempo secondo la legge \(a(t)=(2-t)e^t\). In quale istante è massima la velocità? Che spazio ha percorso fino a quel momento? Grazie. Le rispondo così: Cara Elisa, posto che si abbia la condizione \(v(0)=0\), cioè che il carrello parte da fermo, possiamo ricavare \(v(t)\) come integrale dell’accelerazione \(a(t)\) rispetto al tempo:\[v\left( t \right)=\int{\left( 2-t \right){{e}^{t}}dt=}\left( 2-t \right){{e}^{t}}+\int{{{e}^{t}}dt}={{e}^{t}}\left( 3-t \right)+c\to \]\[\to v\left( 0 \right)=3+c\to v\left( 0 \right)=0\leftrightarrow c=-3\to v\left( t \right)={{e}^{t}}\left( 3-t \right)-3\quad .\] La velocità massima si raggiunge in corrispondenza al valore di annullamento della derivata temporale di \(v(t)\), cioè per \(a(t)=0\), quindi per \(t=2\), e tale valore massimo è \(v(2)=e^2-3\). Lo spazio percorso tra \(0\) e \(2\) secondi è dato da:\[\Delta s=\int\limits_{0}^{2}{v\left( t \right)}dt=\int\limits_{0}^{2}{\left( \left( 3-t \right){{e}^{t}}-3 \right)dt}=\left[ \left( 4-t \right){{e}^{t}}-3t \right]_{0}^{2}=2{{e}^{2}}-10\ .\] Massimo Bergamini

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