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Geometria analitica dello spazio

Ricevo da Elisa quattro problemi di geometria analitica dello spazio.
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Ricevo da Elisa la seguente domanda:   Caro professore, non sono riuscita a capire i seguenti esercizi (n.27, n.31, n.32, n.33 pag.1615 Matematica.azzurro vol.5): 1) Sia dato un triangolo nello spazio tridimensionale. I suoi vertici hanno coordinate \(\left( 0,0,0 \right)\), \(\left( 1,3,4 \right)\), \(\left( -1,3,4 \right)\). Trova l’area del triangolo. 2) Determina il quarto vertice dei possibili tetraedri regolari che hanno per base il triangolo di vertici \(P\left( -2,0,0 \right)\), \(Q\left( 0,2,0 \right)\), \(R\left( 0,0,2 \right)\). 3) Tre vertici di un cubo nello spazio hanno coordinate \(\left( 2,3,0 \right)\), \(\left( 0,5,4 \right)\), \(\left( 4,1,8 \right)\). Calcola le coordinate del centro del cubo. 4) Data la piramide di vertici \(A\left( -1,-3,1 \right)\), \(\left( -1,5,1 \right)\), \(C\left( -1,5,5 \right)\), \(D\left( -1,-3,5 \right)\), \(E\left( 7,-3,1 \right)\), calcola l’area della superficie laterale, il volume, l’angolo \(\gamma\) formato dallo spigolo \(CE\) con il piano di base. Potrebbe cortesemente spiegarmeli con le relative figure? Grazie mille.   Le rispondo così:   Cara Elisa, nel primo caso, osservando che il triangolo è isoscele con la base perpendicolare e simmetrica rispetto al piano \(zy\), si può ricavare l’area come semiprodotto della base \(BC=2\) con l’altezza relativa \(AH=5\), essendo \(H(0,3,4)\) il punto medio della base stessa; l’area misura \(5\). In alternativa, e in generale, si poteva calcolare l’area come la metà del modulo del prodotto vettoriale di due suoi lati pensati come vettori, ad esempio: \[\frac{1}{2}\left| -8\vec{j}+6\vec{k} \right|=\frac{10}{2}=5\quad .\] Nel secondo caso, sapendo che il vertice di un tetraedro regolare si proietta perpendicolarmente nel baricentro del triangolo equilatero di base, cioè nel punto \(B\left( -\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3} \right)\), possiamo ricavare l’equazione della retta \(r\) passante per \(B\) e perpendicolare al piano di base, essendo l’equazione di tale piano \(x-y-z+2=0\), ottenuta imponendo che  \(z=mx+ny+q\) sia soddisfatta dalle coordinate dei punti \(P\), \(Q\) e \(R\); in forma parametrica, la retta \(r\) ha equazione \(x=-\frac{2}{3}+t,y=\frac{2}{3}-t,z=\frac{2}{3}-t\), poiché i suoi coefficienti direttivi \(1,-1,-1\) coincidono con i coefficienti \(a\), \(b\) e \(c\) dell’equazione del piano. Ora, per trovare i vertici \(S\) e \(S’\) dei due possibili tetraedri regolari di base \(PQR\), è sufficiente imporre ad un punto di \(r\) di avere distanza dal piano di base pari all’altezza del tetraedro, che deve essere \(\sqrt{\frac{2}{3}}\) volte il lato, come si può dimostrare in generale con semplici applicazioni del teorema di Pitagora, cioè nel nostro caso, essendo il lato pari a \(2\sqrt{2}\), tale altezza deve misurare \(\frac{4}{\sqrt{3}}\), per cui:\[\frac{\left| -\frac{2}{3}+t-\frac{2}{3}+t-\frac{2}{3}+t+2 \right|}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\to t=\pm \frac{4}{3}\to S\left( -2,2,2 \right),S'\left( \frac{2}{3},-\frac{2}{3},-\frac{2}{3} \right)\quad .\] Nel terzo caso, osservando che i segmenti congiungenti i tre punti hanno tre misure distinte\[AB=\sqrt{24},\quad BC=\sqrt{48},\quad AC=\sqrt{72}\] si deve concludere che essi rappresentano rispettivamente la misura di un lato del quadrato, della diagonale di una sua faccia e della diagonale del cubo, cioè \(A\) e \(C\) sono necessariamente vertici opposti del cubo: di conseguenza, il centro dello stesso è il punto medio del segmento \(AC\), cioè \(M(3,2,4)\). Infine, nel quarto caso, poiché il piano della base \(ABCD\) è perpendicolare sia al piano della faccia \(ADE\) che a quello della faccia \(ABE\), risulta evidente che tutte le facce laterali sono triangoli rettangoli, così come il triangolo \(CAE\); dalle misure  \(AD=BC=4\), \(AB=DC=AE=8\), \(EB=8\sqrt{2}\), \(ED=AC=4\sqrt{5}\), (EC=12\) si ricavano le grandezze richieste: \[{{S}_{ADE}}+{{S}_{ABE}}+{{S}_{EDC}}+{{S}_{EBC}}=\]\[=16+32+16\sqrt{5}+16\sqrt{2}=48+16\sqrt{5}+16\sqrt{2}\] \[V=\frac{1}{3}\cdot 32\cdot 8=\frac{256}{3}\quad \quad \quad \sin \gamma =\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\quad .\] Massimo Bergamini
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