Uno studio di funzione

Ricevo da Vincenzo la seguente domanda: Buongiorno Professore, volevo chiederLe un aiuto nella risoluzione del seguente problema: Si consideri la funzione: \[f\left( x \right)=\arcsin \sqrt{1-{{\ln }^{2}}x}\quad .\] 1) Determinare il dominio di \(f\) e discuterne il segno; 2) discutere brevemente la continuità e la derivabilità di \(f\); 3) calcolare \(f'\), determinare gli intervalli di monotonia ed eventuali punti di estremo; 4) calcolare i limiti significativi di \(f’\); 5) disegnare un grafico di \(f\). (Non si richiedono il calcolo della derivata seconda e lo studio della concavità e della convessità). La ringrazio. Gli rispondo così: Caro Vincenzo, riguardo al dominio, si tratta di porre la non negatività dell’argomento della radice e la limitazione dell’argomento dell’arcoseno all’intervallo \(\left[ -1,1 \right]\), cioè, in sintesi:\[0\le 1-{{\ln }^{2}}x\le 1\to -1\le \ln x\le 1\to {{e}^{-1}}\le x\le e\] per cui il dominio di \(f\) è l’insieme \[{{D}_{f}}=\left[ \frac{1}{e},e \right]\quad .\] Si ha inoltre: \[f=0\leftrightarrow x=\frac{1}{e}\vee x=e\quad \quad f>0\leftrightarrow x\in \left] \frac{1}{e},e \right[\quad .\] La funzione è ovunque continua in \(D_f\), in quanto ottenuta per composizione di funzioni continue. Per quanto riguarda la derivabilità osserviamo che: \[f'\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{{{\ln }^{2}}x}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{1-{{\ln }^{2}}x}}\cdot \frac{-2\ln x}{x}=-\frac{\ln x}{x\left| \ln x \right|\sqrt{1-{{\ln }^{2}}x}}\] per cui, tenendo presente che \(\ln x/\left| \ln x \right|=1\) se \(x>1\), \(\ln x/\left| \ln x \right|=-1\) se \(0<x<1\):\[\underset{x\to {{\left( \frac{1}{e} \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f'\left( x \right)=\frac{e}{{{0}^{+}}}=+\infty \quad \quad \underset{x\to {{e}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f'\left( x \right)=-\frac{1}{e\cdot {{0}^{+}}}=-\infty \]\[\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f'\left( x \right)=-1\quad \quad \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f'\left( x \right)=1\] quindi, in conclusione, \(f\) non è derivabile negli estremi figura1020

del dominio \(x={{e}^{-1}}\) e \(x=e\), dove il grafico presenta tangenti verticali, e nel punto \(x=1\), dove si ha un punto angoloso. Si osserva anche che \[f'>0\leftrightarrow \frac{1}{e}<x<1\quad f'<0\leftrightarrow 1<x<e\] per cui \(f\) è monotona crescente in \(\left[ \frac{1}{e},1 \right]\) e monotona descrescente in \(\left[ 1,e \right]\), e in \(x=e\) si ha un punto di massimo relativo (e assoluto), non regolare, cioè non del tipo a derivata prima nulla, in cui si ha \(f\left( 1 \right)=\frac{\pi }{2}.\) Massimo Bergamini

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