Ricevo da Giovanni la seguente domanda:Gentile professore,come posso calcolare il limite per \(n\to +\infty\) della successione \[\frac{{{\left( 2n! \right)}^{\frac{1}{n}}}}{{{n}^{2}}}\quad ?\]Grazie.Gli rispondo così:Caro Giovanni,mi sembra che la cosa più semplice da fare in questo caso sia utilizzare la cosiddetta formula di Stirling per il fattoriale, cioè il fatto, dimostrabile, che nel limite per \(n\to +\infty\) vale l’equivalenza asintotica \[n!\simeq \sqrt{2\pi n}{{\left( \frac{n}{e} \right)}^{n}}\]per cui il limite richiesto può essere così calcolato: \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( 2n! \right)}^{\frac{1}{n}}}}{{{n}^{2}}}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( 2\sqrt{2\pi n}{{\left( \frac{n}{e} \right)}^{n}} \right)}^{\frac{1}{n}}}}{{{n}^{2}}}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( \sqrt{8\pi n} \right)}^{\frac{1}{n}}}}{ne}=\]\[=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{\frac{\ln \sqrt{8\pi n}}{n}}}}{ne}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{\frac{\ln 8\pi }{2n}+\frac{\ln n}{2n}}}}{ne}=\frac{{{e}^{0+0}}}{+\infty }=\frac{1}{+\infty }=0\quad .\]Massimo Bergamini
