Probabilità

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Caro professore,

come si risolve questo quesito?

Si lancia una moneta \(4\) volte. Se si indicano con Testa o Croce le due facce della moneta, calcola la probabilità:

1) che escano complessivamente tre volte Testa e una volta Croce;

2) esca la sequenza \(TTCC\);

3) sapendo che ai primi tre lanci è uscito \(CCC\), al quarto lancio esca ancora \(C\);

4) non esca mai due volte di seguito la stessa faccia.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

posto che entrambi gli eventi “esce Testa” e “esce Croce” hanno probabilità \(\frac{1}{2}\) di verificarsi ad ogni lancio della moneta, nel primo caso dobbiamo sommare le probabilità delle sequenze \(TTTC\), \(TTCT\), \(TCTT\) e \(CTTT\), ciascuna delle quali ha probabilità di verificarsi pari a \(\frac{1}{2} \cdot\frac{1}{2} \cdot\frac{1}{2} \cdot\frac{1}{2}= \frac{1}{16}\), per cui la probabilità complessivamente è pari a \(4\cdot\frac{1}{16}=\frac{1}{4}\).

Nel secondo caso, la particolare sequenza \(TTCC\) ha probabilità \(\frac{1}{2} \cdot\frac{1}{2} \cdot\frac{1}{2} \cdot\frac{1}{2}= \frac{1}{16}\).

Nel terzo caso, essendo ogni lancio indipendente dai precedenti, la probabilità che al quarto lancio esca \(C\) è sempre \(\frac{1}{2}\), indipendentemente dai risultati precedenti; lo stesso risultato si può ottenere anche dal calcolo della probabilità condizionata:    \[p\left(C\,al\,4{}^\circ |CCC \right)=\frac{p\left( CCCC \right)}{p\left( CCC \right)}=\frac{1/16}{1/8}=\frac{1}{2} .\]

Nell’ultimo caso, si debbono sommare le probabilità delle sequenze \(CTCT\) e \(TCTC\), ottenendo in totale \(\frac{1}{16}+\frac{1}{16} =\frac{1}{8}.\)

Massimo Bergamini

Per la lezione

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