Un limite da verificare

Ricevo da Antonio la seguente domanda:

Salve professore,

sono bloccato nella verifica del seguente limite:

                      \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{3}^{{{x}^{2}}}}}=0\quad .\]

Può aiutarmi? La ringrazio.

Gli rispondo così:

Caro Antonio,

si tratta di verificare che

\[\forall \varepsilon >0\exists {{M}_{\varepsilon }}>0:\forall x>{{M}_{\varepsilon }}\Rightarrow \left| \frac{1}{{{3}^{{{x}^{2}}}}} \right|<\varepsilon \quad .\]

Poiché \(\frac{1}{{{3}^{{{x}^{2}}}}}>0\forall x\in \mathbb{R}\) e \(\varepsilon >0\), e tenendo presente che per basi maggiori di \(1\) le funzioni esponenziali e logaritmiche sono monotone cresescenti, possiamo procedere nel modo seguente:\[\left| \frac{1}{{{3}^{{{x}^{2}}}}} \right|<\varepsilon \to {{3}^{{{x}^{2}}}}>\frac{1}{\varepsilon }\to {{x}^{2}}>{{\log }_{3}}\left( \frac{1}{\varepsilon } \right)\to x<-\sqrt{{{\log }_{3}}\left( \frac{1}{\varepsilon } \right)}\vee x>\sqrt{{{\log }_{3}}\left( \frac{1}{\varepsilon } \right)}\]cioè l’intorno di \(+\infty\) che si stava cercando è caratterizzato da

\[{{M}_{\varepsilon }}=\sqrt{{{\log }_{3}}\left( \frac{1}{\varepsilon } \right)}\quad .\]Si noti che nell’insieme soluzione della disequazione è compreso anche un intorno di \(-\infty\), a riprova del fatto che si ha anche  \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{3}^{{{x}^{2}}}}}=0\] evidente conseguenza della parità della funzione stessa.

Massimo Bergamini

Per la lezione

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