Serie di Fourier

Ricevo da Elisa la seguente domanda: Caro professore, come si svolge questo esercizio? Data la funzione \(f\left( x \right)=\left| x \right|\) per \(x\in \left[ -\pi ,\pi \right]\), \(f\left( x+2k\pi \right)=f\left( x \right)\forall k\in \mathbb{Z}\), rappresentarla graficamente e dire se sia sviluppabile in serie di Fourier. Scrivere la serie relativa ad essa e determinare il valore a cui essa converge in corrispondenza a \(-\pi \) e \(\pi \). Grazie. Le rispondo così: Cara Elisa, la funzione \(f\left( x \right)\), pari e continua su tutto \(\mathbb{R}\), presenta un grafico “a denti di sega” con punti di non derivabilità in corrispondenza di \(x=k\pi\), \(k\in \mathbb{Z}\); in quanto limitata e monotona a tratti in \(\left[ -\pi ,\pi \right]\), la funzione è sviluppabile in serie di Fourier e tale serie converge puntualmente a \(f\left( x \right)\) per ogni \(x\in \left[ -\pi ,\pi \right]\): \[f\left( x \right)\sim \frac{{{a}_{0}}}{2}+\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{{{a}_{k}}\cos kx+}\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{{{b}_{k}}\sin kx}\quad .\] Essendo \(f\left( x \right)\) una funzione pari, i soli coefficienti non nulli nello sviluppo in serie sono: \[{{a}_{k}}=\frac{2}{\pi }\int\limits_{0}^{\pi }{f\left( x \right)\cos kx\,dx}=\frac{2}{\pi }\int\limits_{0}^{\pi }{x\cos kx\,dx}\] cioè: \[{{a}_{k}}=\frac{2}{\pi }\int\limits_{0}^{\pi }{x\cos kx\,dx}=\frac{2}{\pi }\left[ \frac{x}{k}\sin kx+\frac{1}{{{k}^{2}}}\cos kx \right]_{0}^{\pi }=\frac{2\left[ {{\left( -1 \right)}^{k}}-1 \right]}{\pi {{k}^{2}}}\quad k=0,1,2,3...\] Poiché \[\frac{2\left[ {{\left( -1 \right)}^{k}}-1 \right]}{\pi {{k}^{2}}}=0\text{ se }k\text{ pari}\text{,}\frac{2\left[ {{\left( -1 \right)}^{k}}-1 \right]}{\pi {{k}^{2}}}=-\frac{4}{\pi {{k}^{2}}}\text{ se }k\text{ dispari}\] possiamo scrivere: \[f\left( x \right)\sim \frac{\pi }{2}-\frac{4}{\pi }\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\frac{\cos \left( \left( 2k-1 \right)x \right)}{{{\left( 2k-1 \right)}^{2}}}}\quad .\] In particolare, per \(x=\pm \pi\), si ha: \[f\left( \pm \pi \right)=\pi \sim\frac{\pi }{2}-\frac{4}{\pi }\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\frac{\cos \left( \left( 2k-1 \right)\pi \right)}{{{\left( 2k-1 \right)}^{2}}}}=\frac{\pi }{2}+\frac{4}{\pi }\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\frac{1}{{{\left( 2k-1 \right)}^{2}}}}\] da cui ricaviamo:\[\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\frac{1}{{{\left( 2k-1 \right)}^{2}}}}=1+\frac{1}{{{3}^{2}}}+\frac{1}{{{5}^{2}}}+\frac{1}{{{7}^{2}}}+...=\frac{{{\pi }^{2}}}{8}\quad .\] Nel grafico è rappresentata \(f(x)\) insieme al suo sviluppo in polinomio di Fourier arrestato a \(2k-1=7\): \[f\left( x \right)\sim\frac{\pi }{2}-\frac{4}{\pi }\left( \cos x+\frac{\cos 3x}{9}+\frac{\cos 5x}{25}+\frac{\cos 7x}{49} \right)\quad .\]

Massimo Bergamini

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