Studio di funzione

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

 

Caro professore,

come si studia la seguente funzione?

                               \[y=\frac{{{e}^{-\frac{2}{\left| x \right|+1}}}}{{{\left( \left| x \right|-1 \right)}^{2}}}\]

Grazie.

 

Le rispondo così:

Cara Elisa,

la funzione è pari, definita e continua su \(\mathbb{R}-\left\{ \pm 1 \right\}\), ovunque positiva nel suo dominio, e presenta i seguenti limiti:\[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{-\frac{2}{\left| x \right|+1}}}}{{{\left( \left| x \right|-1 \right)}^{2}}}=\frac{1}{+\infty }=0\quad \underset{x\to \pm 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{-\frac{2}{\left| x \right|+1}}}}{{{\left( \left| x \right|-1 \right)}^{2}}}=\frac{{{e}^{-1}}}{{{0}^{+}}}=+\infty \quad .\]figura1065

La derivata prima:\[y’=-2\frac{\left| x \right|}{x}\frac{{{e}^{-\frac{2}{\left| x \right|+1}}}\left( {{x}^{2}}+\left| x \right|+2 \right)}{{{\left( \left| x \right|-1 \right)}^{3}}{{\left( \left| x \right|+1 \right)}^{2}}}\] oltre che in \(x=\pm 1\), non è definita in \(x=0\), dove si ha un punto angoloso, essendo \(y{{‘}^{+}}=4{{e}^{-2}}\) e \(y{{‘}^{-}}=-4{{e}^{-2}}\): il punto \(\left( 0,{{e}^{-2}} \right)\) rappresenta comunque un minimo relativo per la funzione. Si può verificare che la derivata seconda è sempre positiva, per cui la concavità del grafico è sempre rivolta verso l’alto.

Massimo Bergamini

Per la lezione

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