Pertanto il grafico di \(f(x)\) presenta due asintoti verticali, \(x=-5\) e \(x=-4\), e un asintoto orizzontale, \(y=0\). La derivata prima \[f'\left( x \right)=-\frac{\ln \left( x+5 \right)+1}{{{\left( x+5 \right)}^{2}}{{\ln }^{2}}\left( x+5 \right)}\] si annulla solo per \(x={{e}^{-1}}-5\), e poiché \(f'>0\) per \(-5<x<{{e}^{-1}}-5\), \(f'<0\) per \(x>{{e}^{-1}}-5,x\ne -4\), si ha che il punto di ascissa \(x={{e}^{-1}}-5\) rappresenta un massimo relativo per il grafico di \(f(x)\), di valore \(y=-e\).
Il grafico che ne consegue, permette di rispondere agevolmente alle varie questioni poste: la funzione, di codominio \({{C}_{f}}=\left] -\infty ,-e \right]\cup \left] 0,+\infty \right[\), non è iniettiva, assume una sola volta il valore \(756\), due volte il valore \(-10\), e vi sono infinite coppie di valori \(x_1\) e \(x_2\) per i quali risulta \(f(x_1)+f(x_2)=0\), cioè tali che \(f(x_1)=-f(x_2)\), purchè un ascissa sia compresa tra \(-5\) e \(-4\) e l’altra sia maggiore di \(-4\) (e inferiore a \({{f}^{-1}}\left( e \right)\)).
Massimo Bergamini
