\(AB\), cioè la retta \(y=1\), e anche all’asse di \(BC\), cioè la retta \(y=-\frac{5}{2}x-\frac{21}{4}\), quindi ha coordinate \(O\left( \frac{17}{10},1 \right)\), mentre il raggio è dato da \(OC=\frac{\sqrt{1189}}{10}\). Ricaviamo le coordinate di \(A'\), \(B'\) e \(C'\) in funzione delle coordinate di \(P(h;k)\), intersecando le rette dei lati con le perpendicolari ai lati passanti per \(P\); otteniamo:
\[A'\left( \frac{25h-20k+80}{41},\frac{-20h+16k+100}{41} \right)\] \[B'\left( \frac{25h+10k+20}{29},\frac{10h+4k-50}{29} \right)\] \[C'\left( 0,k \right)\] da cui la condizione di allineamento \({{m}_{A'C'}}={{m}_{B'C'}}\):
\[\frac{-4h-5k+20}{5h-4k+16}=\frac{2h-5k-10}{5h+2k+4}\to 5{{h}^{2}}+5{{k}^{2}}-17h-10k-40=0\] che equivale alla condizione di appartenenza a \(\gamma\). Il triangolo \(ABP\) ha base \(AB=6\) fissa, e altezza \(PH=\left| {{x}_{P}} \right|\), con \(0\le \left| {{x}_{P}} \right|\le \frac{\sqrt{1189}-17}{10}\), per cui la posizione di \(P\) che corrisponde al triangolo di area massima è \(P\left( \frac{17-\sqrt{1189}}{10},1 \right)\).
Nel secondo problema, la circonferenza circoscritta si può trovare risolvendo il sistema di condizioni \[1+4+a+2b+c=0\ \wedge \ 49+36-7a+6b+c=0\ \wedge \ 1-a+c=0\] da cui l’equazione \[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6x-8y+5=0\quad .\]
Per quanto riguarda la seconda circonferenza, basta ricavare il raggio come distanza tra \(C\) e la retta \(AB\):
\[\frac{\left| -1-5 \right|}{\sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}\to {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=\frac{36}{5}\to 5{{x}^{2}}+5{{y}^{2}}+10x-31=0\quad .\]
Massimo Bergamini
