nel primo caso, le condizioni per determinare \(\wp\) si riassumono nelle seguenti equazioni: \[c=5\quad \wedge \quad a-b+c=0\]\[ \wedge \quad {{\left( b-4 \right)}^{2}}-4a\left( c-5 \right)=0\] da cui \(a=-1\), \(b=4\), \(c=5\), cioè l’equazione di \(\wp\): \(y=-x^2+4x+5\). La retta \(r\), la cui equazione è \(x-2y+10=0\), incontra \(\wp\), oltre che in \(C\), anche nel punto \(D(7/2,27/4)\); pertanto si ha \(CD=\frac{7}{4}\sqrt{5}\), e quindi un punto \(P\) di \(\wp\) forma con \(CD\) un triangolo di area \(21/8\) se e solo se \(P\) appartiene anche ad una parallela a \(r\) che abbia da \(r\) una distanza \(h=\frac{3}{5}\sqrt{5}\): \[\frac{\left| x+2{{x}^{2}}-8x-10+10 \right|}{\sqrt{5}}=\frac{3}{5}\sqrt{5}\to 2{{x}^{2}}-7x=\pm 3\to \]\[\to {{x}_{1}}=3,{{x}_{2}}=\frac{1}{2},{{x}_{3,4}}=\frac{7\pm \sqrt{73}}{4}\] da cui i punti cercati: \[{{P}_{1}}\left( 3;8 \right)\quad {{P}_{2}}\left( \frac{1}{2};\frac{27}{4} \right)\quad {{P}_{3}}\left( \frac{7+\sqrt{73}}{4};\frac{35+\sqrt{73}}{8} \right)\quad \in {{P}_{4}}\left( \frac{7-\sqrt{73}}{4};\frac{35-\sqrt{73}}{8} \right)\quad .\]
In modo analogo, i punti \(S\) dell’arco \(CVD\) che soddisfano la richiesta sono quelli tali che il triangolo \(SCD\) abbia altezza \(h=(8k-10)/\sqrt{5}\), poiché il quadrilatero \(OCSD\) è completato da un triangolo non variabile con \(S\) di area \(35/4\). Si deduce quindi facilmente che una retta parallela alla retta \(r\) interseca l’arco \(CVD\) in due punti (eventualmente coincidenti) finchè la sua distanza da \(r\) è compresa tra \(0\) e \(49\sqrt{5}/40\), che è la distanza di \(r\) dalla retta tangente alla parabola parallela alla corda \(CD\), pertanto il problema ha due soluzioni per i valori di \(k\) tali che: \[0\le \frac{8k-10}{\sqrt{5}}\le \frac{49}{8\sqrt{5}}\to \frac{5}{4}\le k\le \frac{129}{64}\quad .\]
Nel secondo problema, ricaviamo facilmente le equazioni di G e di \(\wp\): \[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y+1=0\quad \quad y=-{{x}^{2}}+1\] e le coordinate dei punti di intersezione \(V(0;1)\) e \(P(1;0)\); le tangenti a G in tali punti sono gli assi \(y=0\) e \(x=0\), mentre la retta \(y=1\) è tangente a \(\wp\) in \(V\) mentre la retta \(r\) di equazione \(y=-2x+2\) è la tangente in \(P\) a \(\wp\), per cui il trapezio rettangolo \(VOPQ\) formato dalle loro intersezioni ha area \(3/4\).
Le parallele ad \(r\) tangenti a G si possono ricavare imponendo che una retta del fascio \(y=-2x+q\) disti \(1\) da \((1;1)\), cioè che sia \(\left| 3-q \right|=\sqrt{5}\), da cui le rette \(y=-2x+3\pm \sqrt{5}\), che distano \(2\) tra loro, e rispettivamente \(1+\sqrt{5}/5\) e \(1-\sqrt{5}/5\) da \(r\).
Riguardo all’ultima richiesta, detta \(y\) l’ordinata dei punti della retta parallela all’asse \(x\) in questione, con \(0\le y\le 1\), si ha: \[A\left( 1-\sqrt{2y-{{y}^{2}}};y \right),B\left( 1+\sqrt{2y-{{y}^{2}}};y \right),C\left( -\sqrt{1-y};y \right),D\left( \sqrt{1-y};y \right)\] da cui: \[AB=2\sqrt{2y-{{y}^{2}}}\quad CD=2\sqrt{1-y}\] e quindi l’equazione \(-{{y}^{2}}+y+1=k\), che, posto \(Y=y^2\), equivale al seguente sistema: \[\left\{ \begin{array}{lll} Y=y^2 \\ Y-y-1+k=0 \\ 0\le y \le 1 \end{array} \right.\] che nel piano \(Y-y\) equivale a intersecare il fascio improprio di rette \(Y=y+1-k\) con l’arco della parabola \(Y=y^2\) di estremi \((0;0)\) e \((1;1)\): si hanno due soluzioni per ogni valore di \(k\) tale che \(1\le k \le 5/4\).
Massimo Bergamini
