Grazie.
Le rispondo così:
Cara Paola,
il trapezio rettangolo \(RHPV\) ha base maggiore \(RV\) costante, pari all’ordinata del vertice \(V\) della parabola, cioè \(y\left( \frac{3}{2} \right)=\frac{25}{4}\), la base minore \(PH\) coincidente con l’ordinata del generico punto \(P\), cioè \(-x^2+3x+4\), con \(\frac{3}{2}\le x\le 4\), mentre l’altezza \(RH\) è data da \(x-\frac{3}{2}\), pertanto la funzione da massimizzare è l’area \[S\left( x \right)=\left( -{{x}^{2}}+3x+4+\frac{25}{4} \right)\left( x-\frac{3}{2} \right)=-{{x}^{3}}+\frac{9}{2}{{x}^{2}}+\frac{23}{4}x-\frac{123}{8}\quad .\]
Deriviamo \(S(x)\) e analizziamone segno e zeri nell’intervallo \(\frac{3}{2}\le x\le 4\): \[S'\left( x \right)=-3{{x}^{2}}+9x+\frac{23}{4}\to S'\left( x \right)=0\leftrightarrow x=\frac{9\pm 5\sqrt{6}}{6}\] da cui, osservando che per \(x<\frac{9+5\sqrt{6}}{6}\) si ha \(S’(x)>0\), mentre per \(x>\frac{9+5\sqrt{6}}{6}\) si ha \(S’(x)<0\), \(x=\frac{9+5\sqrt{6}}{6}\) è l’ascissa del punto \(P\) che realizza il massimo cercato per l’area del trapezio.
Massimo Bergamini
