ricordando la formula per il calcolo dell’area di un triangolo noti due lati e l’angolo compreso, si ha, per \(0<x<\frac{\pi }{3}\), l’equazione:
\[\frac{AP\cdot PC\cdot \sin 3x}{2}=\frac{AP\cdot PB\cdot \sin x}{2}+\frac{PB\cdot PC\cdot \sin 2x}{2}\to \]\[3\sqrt{2}\sin 3x=\sqrt{2}\sin x+2\sin 2x\to \]\[\to 3\sqrt{2}\sin x\left( 4{{\cos }^{2}}x-1 \right)=\sin x\left( \sqrt{2}+4\cos x \right)\to \]\[\to 12\sqrt{2}{{\cos }^{2}}x-4\cos x-4\sqrt{2}=0\to \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\vee \cos x=-\frac{\sqrt{2}}{3}\]
La soluzione accettabile è quindi \(\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\to x=\frac{\pi }{4}\), da cui, applicando il teorema dei coseni ai triangoli \(APB\) e \(BPC\): \[AB=\sqrt{9+2-6}=\sqrt{5}\quad BC=\sqrt{18+2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\quad .\]
In base al teorema dei seni, i raggi \(r_1\) e \(r_2\) delle circonferenze circoscritte di cui si chiede il rapporto sono i seguenti: \[{{r}_{1}}=\frac{\sqrt{5}}{2\sin \left( \pi /4 \right)}=\sqrt{\frac{5}{2}}\quad {{r}_{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{2\sin \left( \pi /2 \right)}=\sqrt{5}\to \frac{{{r}_{1}}}{{{r}_{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\quad .\]
Massimo Bergamini
