Tangenti

Ricevo da Antonio la seguente domanda: Gentile professore, vorrei chiederle un aiuto in merito al seguente problema: Sia \(g(x)\) una funzione così definita: \[g(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{{{x}^{2}}+1}\quad x\le 0 \\ 1-x\ln^2 x\quad x>0 \end{array} \right.\quad .\] Determinare le tangenti al grafico della funzione \(g(x)\) nei punti \(x=0\) e \(x=1\). Grazie. Gli rispondo così: Caro Antonio, verifichiamo innanzitutto che la funzione è continua per ogni \(x\) reale, compreso \(x=0\), infatti, utilizzando più volte il teorema di de L’Hospital per la forma \(\frac{\infty }{\infty }\): \[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 1-x{{\ln }^{2}}x \right)=1-\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\ln }^{2}}x}{{{x}^{-1}}}=1+2\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln x}{{{x}^{-1}}}=1-2\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,x=1\] da cui la continuità, essendo \[\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{x}^{2}}+1}=1=g\left( 0 \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)\quad .\]

Tuttavia, \(g(x)\) non è derivabile in \(x=0\), essendo: \[g’(x)=\left\{ \begin{array}{ll} -\frac{2x}{({{x}^{2}}+1)^2}\quad x< 0 \\ 1-x\ln^2 x\quad x>0 \end{array} \right.\] da cui:\[\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,g'\left( x \right)=0\ne \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,g'\left( x \right)=-\infty\]pertanto, in \(x=0\) il grafico della funzione presenta una semi-cuspide, con semiretta tangente sinistra la retta \(y=1\), semiretta tangente destra l’asse \(y\). La retta \(y=1\) è tangente al grafico di \(g(x)\) anche nel punto di ascissa \(x=1\), essendo infatti \(g\left( 1 \right)=1\) e \(g'\left( 1 \right)=0\). Massimo Bergamini

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