Per quanto riguarda i rettangoli inscritti nella curva, dal grafico si deduce che nel loro insieme possono essere definiti come i rettangoli aventi per altezza un’ordinata \(y\) compresa tra \(0\) e \(1\) (il massimo relativo), e come base la differenza tra le ascisse dei punti del grafico che hanno ordinata \(y\), cioè \[y=\frac{{{x}^{2}}-3x}{x-4}\to {{x}_{1,2}}=\frac{3+y\pm \sqrt{{{y}^{2}}-10y+9}}{2}\] per cui la base del rettangolo ha misura \(\left| {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right|=\sqrt{{{y}^{2}}-10y+9}\) mentre l’altezza misura \(y\), e ne consegue che la funzione area da rendere massima è la seguente: \[S\left( y \right)=y\sqrt{{{y}^{2}}-10y+9}\] per \(0\le y \le 1\). Derivando e analizzando zeri e segno della derivata si ha: \[S'\left( y \right)=\frac{2{{y}^{2}}-15y+9}{\sqrt{{{y}^{2}}-10y+9}}\to S'\left( y \right)=0\leftrightarrow y=\frac{15\pm \sqrt{153}}{4}\] si ricava che l’unico valore accettabile, e corrispondente al massimo cercato, è \(y=\frac{15-\sqrt{153}}{4}\approx 0,658\), corrispondente ai punti di ascisse \({{x}_{1}}\approx 0,985\) e \({{x}_{2}}\approx 2,67\).
Massimo Bergamini
