Derivata con valore assoluto

Ricevo da Lucia la seguente domanda:

 

Gentile professore,

mi aiuterebbe a capire come si svolge il seguente esercizio (pag.1689, n.602, Matematica.blu2.0, vol.V)?

 

Deriva la seguente funzione

                                                    \[f\left( x \right)=\left| \ln \sqrt{x} \right|\quad .\]

Grazie.

 

Le rispondo così:

 

Cara Lucia,

poiché

\[f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{ll} -\ln \sqrt{x}\quad 0<x\le 1 \\ \ln \sqrt{x}\quad \quad x>1 \end{array} \right.\] possiamo senz’altro dire che \[f’\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{ll} -\frac{1}{2x}\quad 0<x<1 \\ \frac{1}{2x}\quad \quad x>1 \end{array} \right.\] e anche che per \(x=1\) la funzione non è derivabile, in quanto \[\underset{h\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \sqrt{1+h}}{h}=\frac{1}{2}\underset{h\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( 1+h \right)}{h}=\frac{1}{2}\ne \underset{h\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-\ln \sqrt{1+h}}{h}=-\frac{1}{2}\quad .\]

Massimo Bergamini

Per la lezione

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