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L'esperto di matematica

Un integrale

Ettore propone il calcolo del seguente integrale indefinito: \[\int{\left( {{x}^{6}}+{{x}^{3}} \right)\sqrt[3]{{{x}^{3}}+2}\,dx}\quad .\]
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Ricevo da Ettore la seguente domanda:   Caro professore, cortesemente un aiuto per il seguente esercizio (n.589, pag.1994, Matematica.blu 2.0):   Determina l'integrale                                        \[\int{\left( {{x}^{6}}+{{x}^{3}} \right)\sqrt[3]{{{x}^{3}}+2}\,dx}\quad .\]   Grazie.   Gli rispondo così:   Caro Ettore, con un piccolo “trucco” del tipo aggiungere e togliere, possiamo riscrivere l’integrale in questo modo:

\[\int{\left( {{x}^{6}}+{{x}^{3}} \right){{\left( {{x}^{3}}+2 \right)}^{\frac{1}{3}}}dx=}\int{\left( {{x}^{6}}+2{{x}^{3}}-{{x}^{3}} \right){{\left( {{x}^{3}}+2 \right)}^{\frac{1}{3}}}\,dx=}\int{{{x}^{3}}{{\left( {{x}^{3}}+2 \right)}^{\frac{4}{3}}}\,dx}-\int{{{x}^{3}}{{\left( {{x}^{3}}+2 \right)}^{\frac{1}{3}}}\,dx}\]

e integrando per parti il primo dei due integrali si ha la seguente uguaglianza: \[\int{\left( {{x}^{6}}+{{x}^{3}} \right){{\left( {{x}^{3}}+2 \right)}^{\frac{1}{3}}}dx=}\frac{1}{4}{{x}^{4}}{{\left( {{x}^{3}}+2 \right)}^{\frac{4}{3}}}-\int{{{x}^{6}}{{\left( {{x}^{3}}+2 \right)}^{\frac{1}{3}}}\,dx}-\int{{{x}^{3}}{{\left( {{x}^{3}}+2 \right)}^{\frac{1}{3}}}\,dx}\] da cui: \[\int{\left( {{x}^{6}}+{{x}^{3}} \right){{\left( {{x}^{3}}+2 \right)}^{\frac{1}{3}}}dx=}\frac{1}{4}{{x}^{4}}{{\left( {{x}^{3}}+2 \right)}^{\frac{4}{3}}}-\int{\left( {{x}^{6}}+{{x}^{3}} \right){{\left( {{x}^{3}}+2 \right)}^{\frac{1}{3}}}\,dx}\to \]\[\to 2\int{\left( {{x}^{6}}+{{x}^{3}} \right){{\left( {{x}^{3}}+2 \right)}^{\frac{1}{3}}}dx=}\frac{1}{4}{{x}^{4}}{{\left( {{x}^{3}}+2 \right)}^{\frac{4}{3}}}\to \]\[\to \int{\left( {{x}^{6}}+{{x}^{3}} \right){{\left( {{x}^{3}}+2 \right)}^{\frac{1}{3}}}dx}=\frac{{{x}^{4}}{{\left( {{x}^{3}}+2 \right)}^{\frac{4}{3}}}}{8}+c\quad .\] Massimo Bergamini

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