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L'esperto di matematica

Quattro funzioni

Rispondo a Marco in merito allo studio delle seguenti funzioni: \[y=x+\frac{9}{x}-1\quad y=\frac{1}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}\quad y=\frac{x}{\ln x}\quad y=\ln \frac{x}{x+2}\quad .\]
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Ricevo da Marco la seguente domanda:   Gentile professore, le sarei grato se mi aiutasse a risolvere i seguenti esercizi (n.384, n.427, n.441, n.442. pagg.1465-1473, Matematica.azzurro): Studia e rappresenta graficamente le seguenti funzioni:           \[y=x+\frac{9}{x}-1\quad y=\frac{1}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}\quad y=\frac{x}{\ln x}\quad y=\ln \frac{x}{x+2}\quad .\] Grazie.   Gli rispondo così:   Caro Marco, nel primo caso, la funzione, definita, continua e derivabile nel dominio \({{D}_{1}}=\mathbb{R}-\left\{ 0 \right\}\), mai nulla e positiva per \(x>0\), definisce i seguenti limiti significativi:         \[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( x+\frac{9}{x}-1 \right)=\pm \infty \quad \underset{x\to {{0}^{\pm }}}{\mathop{\lim }}\,\left( x+\frac{9}{x}-1 \right)=\pm \infty \] e poiché \[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{y}{x}=1\quad \underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( y-x \right)=-1\] si hanno i seguenti asintoti:\[x=0\quad y=x-1\quad .\] Date le derivate prima e seconda:\[y'=\frac{{{x}^{2}}-9}{{{x}^{2}}}\quad y''=\frac{18}{{{x}^{3}}}\] si deduce che il grafico della funzione ha un massimo relativo in \((-3;-7)\), un minimo relativo in \((3;5)\), un cambio di concavità, da giù a su, attraversando l’asintoto \(x=0\). Nel secondo caso, la funzione, definita, continua e derivabile nel dominio \({D}_{2}=\mathbb{R}\), pari, mai nulla e positiva per ogni \(x\), definisce i seguenti limiti significativi:\[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}=0\] e quindi si ha come solo asintoto la retta \(y=0\). Date le derivate prima e seconda:\[{y}'=\frac{-2x}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}\quad {y}''=\frac{2\left( 2{{x}^{2}}-1 \right)}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}\] si deduce che il grafico della funzione ha un massimo relativo in \((0;1)\) e due punti di flesso obliquo in   \(\left( \pm \frac{\sqrt{2}}{2};\frac{1}{\sqrt{e}} \right)\). Nel terzo caso, la funzione, definita, continua e derivabile nel dominio \({{D}_{3}}=\left\{ x>0,x\ne 1 \right\}\), mai nulla e positiva per \(x>1\), definisce i seguenti limiti significativi:\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\ln x}=+\infty \quad \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\ln x}=\frac{0}{-\infty }={{0}^{-}}\quad \underset{x\to {{1}^{\pm }}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\ln x}=\frac{1}{{{0}^{\pm }}}=\pm \infty \] e quindi si ha il seguente asintoto verticale: \(x=1\). Date le derivate prima e seconda:\[{y}'=\frac{\ln x-1}{{{\ln }^{2}}x}\quad {y}''=\frac{2-\ln x}{x{{\ln }^{3}}x}\] si deduce che il grafico della funzione ha un minimo relativo in \((e;e)\), e un punto di flesso obliquo in \((e^2;e^2/2)\). Nell’ultimo caso, la funzione, definita, continua e derivabile nel dominio \({{D}_{4}}=\left\{ x<-2\vee x>0 \right\}\), mai nulla e positiva per \(x<-2\), definisce i seguenti limiti significativi:        \[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\ln \frac{x}{x+2}=\ln 1=0\quad \underset{x\to -{{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\ln \frac{x}{x+2}=\ln \frac{-2}{{{0}^{-}}}=+\infty \quad \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\ln \frac{x}{x+2}=\ln {{0}^{+}}=-\infty \] e pertanto si hanno i seguenti asintoti verticali: \(x=-2\), \(x=0\). Date le derivate prima e seconda:\[{y}'=\frac{2}{x\left( x+2 \right)}\quad {y}''=-\frac{2\left( x+1 \right)}{{{x}^{2}}{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\] si deduce che la funzione è monotona crescente a tratti, mentre la concavità è giù per \(x<-2\), su per \(x>0\). Massimo Bergamini
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