Domini normali

Ricevo da Ferdinando la seguente domanda: Gentile professore, mi aiuta a capire la distinzione tra dominio normale rispetto all’asse \(x\) e normale rispetto all’asse \(y\)? Due esempi: 1) Area della parte di piano compresa tra le curve \(y=x^2-3x+2\) e \(y=-x^2+x+2\). 2) Area della regione \(T\) delimitata dalla parabola \(x=y^2-1\) e dalla retta \(x+y-1=0\). Come si fa praticamente a sapere se integrare rispetto a \(x\) o a \(y\)? Grazie. Gli rispondo così: Caro Ferdinando, per definizione, un dominio \(D_x\) si dice normale rispetto all’asse \(x\) (o anche \(y\)-semplice) se esistono un intervallo \(\left[ a,b \right]\) e due funzioni \(f_1(x)\) e \(f_2(x)\) continue in \(\left[ a,b \right]\) tali che \[{{D}_{x}}=\left\{ \left( x,y \right)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}:x\in \left[ a,b \right],{{f}_{2}}\left( x \right)\le y\le {{f}_{1}}\left( x \right) \right\}\] e, analogamente, \(D_y\) si dice normale rispetto all’asse \(y\) (o anche \(x\)-semplice) se esistono un intervallo \(\left[ a,b \right]\) e due funzioni \(g_1(y)\) e \(g_2(y)\) continue in \(\left[ a,b \right]\) tali che \[{{D}_{y}}=\left\{ \left( x,y \right)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}:y\in \left[ a,b \right],{{g}_{2}}\left( y \right)\le x\le {{g}_{1}}\left( y \right) \right\}\quad .\] In pratica, un dominio normale rispetto a \(x\), “sezionato” perpendicolarmente all’asse \(x\), si presenta come un insieme di segmenti di ordinata i cui estremi appartengono ad archi di funzioni continue di \(x\), per cui è sempre possibile ricavare l’area di \(D_x\) come integrale della differenza di due funzioni ben definite: \[Area\left( {{D}_{x}} \right)=\int\limits_{a}^{b}{\left( {{f}_{1}}\left( x \right)-{{f}_{2}}\left( x \right) \right)dx\quad .}\] Viceversa, un dominio normale rispetto a \(y\) si presenta come un insieme di segmenti di ascissa i cui estremi appartengono ad archi di funzioni continue di \(y\) (funzioni che talvolta devono essere ricavate esplicitando rispetto ad \(y\) funzioni invertibili \(y=f(x)\)), per cui è possibile ricavare l’area di \(D_y\) come integrale della differenza di due funzioni ben definite: \[Area\left( {{D}_{y}} \right)=\int\limits_{a}^{b}{\left( {{g}_{1}}\left( y \right)-{{g}_{2}}\left( y \right) \right)dy\quad .}\] Il primo esempio che proponi è il calcolo dell’area di un dominio normale rispetto a \(x\); una volta individuati i punti di intersezione delle due curve, cioè \((0;2)\) e \((2,0)\), integriamo la loro differenza nell’intervallo \(x\in\left[ 0;2 \right]\):

\[Area\left( {{D}_{x}} \right)=\int\limits_{0}^{2}{\left( -{{x}^{2}}+x+2-{{x}^{2}}+3x-2 \right)dx}=\]\[=\left[ -\frac{2}{3}{{x}^{3}}+2{{x}^{2}} \right]_{0}^{2}=\frac{8}{3}\quad .\]

Il secondo esempio è il calcolo dell’area di un dominio normale rispetto a \(y\); una volta individuati i punti di intersezione delle due curve, cioè \((0;1)\) e \((3,-2)\), integriamo la loro differenza nell’intervallo \(y\in\left[ -2;1 \right]\): \[Area\left( {{D}_{y}} \right)=\int\limits_{-2}^{1}{\left( -y+1-{{y}^{2}}+1 \right)dy}=\]\[=\left[ -\frac{1}{3}{{y}^{3}}-\frac{1}{2}{{y}^{2}}+2y \right]_{-2}^{1}=\frac{9}{2}\quad .\] Massimo Bergamini

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