con riferimento alla figura, l’altezza \(A’H\) del prisma misura \(42\sin 36{}^\circ \approx 24,687\), per cui, essendo l’area di base \({{S}_{b}}=6\cdot {{14}^{2}}\frac{\sqrt{3}}{4}=294\sqrt{3}\), si ha un volume \(V\) pari a \[V=294\sqrt{3}\cdot 42\cdot \sin 36{}^\circ \approx 12571,18\quad .\]
Per quanto riguarda la superficie del prisma, la facce laterali sono parallelogrammi di due tipi: le facce \(BCC’B’\) e \(FEE’F’\) sono congruenti e tali che l’angolo fra i lati adiacenti è di \(36^\circ\), per cui la loro superficie è\[{{S}_{1}}=14\cdot 42\cdot \sin 36{}^\circ \approx 345,62\quad .\]
Le altre quattro facce sono formate da parallelogrammi congruenti fra loro, sempre di lati \(14\) e \(42\), ma l’angolo \(\gamma =D\hat{C}C'\) fra di loro deve essere determinato, ad esempio ricavando i lati del triangolo \(DCJ\); osservando la figura e applicando il teorema di Pitagora e il teorema dei coseni si ha: \[BJ=14\tan 36{}^\circ \quad BD=14\sqrt{3}\quad DJ=14\sqrt{3+{{\tan }^{2}}36}\]\[CJ=\frac{14}{\cos 36{}^\circ }\quad \cos \gamma =\frac{C{{J}^{2}}+C{{D}^{2}}-D{{J}^{2}}}{2CJ\cdot CD}=\frac{-\cos 36{}^\circ \left( 1+2{{\tan }^{2}}36{}^\circ \right)}{2}\]
da cui \[\sin \gamma =\frac{\sqrt{4-{{\cos }^{2}}36{}^\circ {{\left( 1+2{{\tan }^{2}}36{}^\circ \right)}^{2}}}}{2}\approx 0,555\to {{S}_{2}}=14\cdot 42\cdot \sin \gamma \approx 326,34\] e in definitiva, la superficie totale del prisma è:
\[{{S}_{T}}=2\cdot 6\cdot {{14}^{2}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}+2\cdot 14\cdot 42\sin 36{}^\circ +4\cdot 14\cdot 42\sin \gamma \approx 3015\quad .\]
Massimo Bergamini
